Expresiones algebraicas

Que aprenderas

Como leer una expresion sin confundirla con una ecuacion.
Como identificar terminos, coeficientes y parte literal.
Como simplificar con orden y sin mezclar objetos distintos.
Como decidir cuando conviene desarrollar, reagrupar o sustituir valores.
Por que estas manipulaciones importan tanto en problemas olimpicos.

Definicion

Expresion algebraica

Una expresion algebraica combina numeros, letras y operaciones para representar una cantidad.

Por ejemplo:

$3x^2 - 5x + 7$

Aqui no se esta afirmando que algo valga otra cosa. Solo se esta describiendo una cantidad.

Expresion no es ecuacion

Esta distincion parece pequena, pero cambia por completo lo que puedes hacer.

Una expresion como $3x+1$ representa una cantidad.
Una ecuacion como $3x+1=7$ afirma una igualdad y pide estudiar para que valores se cumple.

Ejemplo 1

Observa la diferencia entre

$3x+1$

$3x+1=7.$

En el primer caso no "resuelves" nada: puedes simplificar, evaluar o transformar la expresion.

En el segundo caso si tiene sentido preguntar por el valor de $x$ :

$3x+1=7 \implies 3x=6 \implies x=2.$

Leer lo que tienes delante

En la expresion

$3x^2 - 5x + 7$

$3x^2$ , $-5x$ y $7$ son terminos;
$3$ y $-5$ son coeficientes;
$x^2$ y $x$ forman la parte literal;
$7$ es el termino independiente.

Tip:

Antes de manipular una expresion, conviene mirar que piezas cambian y que piezas solo estan ahi para acompanar.

Orden, parentesis y estructura

La algebra no castiga solo por "no saber la formula". Muchas veces castiga por leer mal la estructura.

Cuando una expresion tiene varios parentesis, lo primero no es calcular a toda velocidad. Lo primero es decidir:

que parentesis conviene abrir;
que signos van a cambiar;
que terminos podran juntarse despues.

Ejemplo 2

Simplifica

$2a - (3a - (a-5)).$

Primero resolvemos el parentesis interior:

$3a - (a-5) = 3a-a+5 = 2a+5.$

Entonces:

$2a-(3a-(a-5)) = 2a-(2a+5)=2a-2a-5=-5.$

El error mas comun aqui es olvidar que el signo menos delante del parentesis exterior afecta a todo el bloque.

Terminos semejantes

Solo se pueden sumar o restar terminos que tengan exactamente la misma parte literal.

Ejemplo 3

Simplifica

$4x + 3x - 2 + 5$

Agrupamos terminos semejantes:

$4x + 3x - 2 + 5 = 7x + 3$

Atencion:

$2x$ y $2x^2$ no son terminos semejantes. Comparten la letra, pero no representan la misma potencia.

El signo tambien se distribuye

Muchos errores vienen de olvidar que el signo negativo afecta a todo el parentesis.

Ejemplo 4

Simplifica

$5a - (2a - 3)$

El signo menos cambia ambos terminos:

$5a - (2a - 3) = 5a - 2a + 3 = 3a + 3$

Multiplicar y distribuir

Ejemplo 5

Desarrolla y simplifica

$2(3x - 4) + x$

Primero distribuimos:

$2(3x - 4) + x = 6x - 8 + x = 7x - 8$

Ejemplo 6

Desarrolla

$-3(2m - 5n + 1)$

$-3(2m - 5n + 1) = -6m + 15n - 3$

Expresiones equivalentes

Dos expresiones son equivalentes si representan la misma cantidad para todos los valores permitidos de las variables.

Esta idea es muy importante en olimpiadas, porque muchas veces el paso clave no es "calcular", sino reescribir una expresion en una forma mas util.

Ejemplo 7

Comprueba que

(x+1)^2 - x^2

es equivalente a

2x+1.

Desarrollamos:

(x+1)^2 - x^2 = (x^2+2x+1)-x^2 = 2x+1.

La segunda forma es mucho mas comoda si luego quieres evaluar o estudiar paridad.

Valor numerico de una expresion

En problemas olimpicos, muchas veces conviene evaluar una expresion despues de haberla simplificado.

Ejemplo 8

Calcula el valor de

$2x^2 - 3x + 1$

cuando $x=2$ .

Sustituimos:

$2(2)^2 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3$

Ejemplo 9

Calcula el valor de

3(2x-1) - (x+4)

cuando $x=-2$ .

Primero simplificamos:

3(2x-1) - (x+4) = 6x-3-x-4 = 5x-7.

Ahora sustituimos:

5(-2)-7 = -10-7 = -17.

Aqui se ve bien por que conviene simplificar antes de reemplazar.

Nota:

Sustituir demasiado pronto puede volver el calculo mas feo. Primero simplifica si se puede; luego evalua.

Una lectura util para problemas

Cuando un problema da una expresion larga, intenta leerla de alguna de estas maneras:

como suma de bloques parecidos;
como algo que conviene desarrollar;
como algo que conviene reagrupar;
o como una diferencia entre dos formas equivalentes.

Muchas soluciones cortas empiezan con una observacion de estructura, no con una cuenta larga.

Por que esto importa en olimpiadas

Las expresiones algebraicas aparecen en casi todas partes:

cuando reconoces una identidad;
cuando factorizas una condicion;
cuando despejas una cantidad auxiliar;
cuando comparas dos formas de escribir lo mismo.

No es un tema "previo" al algebra olimpica. Es la gramatica del algebra olimpica.

Ejercicios

Ejercicio

Nivel 1/5

Simplifica:

$5a - 2a + 3 - 8$

Ejercicio

Nivel 1/5

Identifica coeficientes, parte literal y termino independiente en:

$7m^2n - 4mn + 9$

Ejercicio

Nivel 2/5

Simplifica:

$3x - (2x - 5) - (x + 4)$

Ejercicio

Nivel 2/5

Desarrolla y reduce:

$4(2y - 3) - 2(y + 5)$

Ejercicio

Nivel 2/5

Simplifica con cuidado:

2a-(3a-(2a-7)).

Ejercicio

Nivel 2/5

Comprueba que las expresiones

5(x-1)+3

5x-2

son equivalentes.

Ejercicio

Nivel 3/5

Simplifica primero y luego evalua en $m=3$ :

2(3m-4) - (m-5) - 3(m+1).

Ejercicio

Nivel 3/5

Explica por que no se pueden juntar directamente los terminos de

x^2 + 3x - 2x^2 + 5

como si todos fueran del mismo tipo, y luego simplifica correctamente.

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Expresion no es ecuacion

Leer lo que tienes delante

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Terminos semejantes

El signo tambien se distribuye

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