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Fracciones algebraicas

Simplificacion, restricciones y operaciones con fracciones algebraicas para manipular expresiones con mas cuidado.

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Brujula de estudio

Tres maneras utiles de abrir este tema

Cuando una factorizacion abre la puerta a simplificar mejor.

Entrada~10 min

Ubicate sin abrir todo

Sirve cuando vienes con poco tiempo o solo quieres recordar la idea dominante antes de pasar a otra lectura.

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Principal~15 min

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Lectura base, un recurso central y una practica corta suelen bastar para que el tema ya empiece a quedarse.

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Cierre~10 min

Comprueba si ya te sirve

Util antes de clase, despues de entrenar o cuando quieras confirmar que no te llevas una confusion escondida.

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Ruta sugerida

Como conviene estudiar este tema

No hace falta abrir todo. Empieza por la lectura base, usa un recurso principal para mover la idea y deja lo complementario para cuando de verdad te aporte.

Paso 1Base

Empieza por la lectura base

Aqui construyes el mapa del tema: como reconocer la estructura, que tecnica conviene y donde suelen aparecer los errores.

Paso 2Practica

Practica una tecnica cada vez

En esta parte ya no conviene seguir leyendo sin actuar: intenta ejercicios con pistas y comprueba si el metodo realmente te sale.

Antes de abrir este tema

Si alguno de estos temas te falta, te conviene repasarlo primero para que la lectura fluya mejor.

ALGFactorizacion

Lectura principal

Teoria y desarrollo

Recorrido sugerido

Si te pierdes, usa este mapa

No hace falta leer todo de un tiron. Puedes avanzar por bloques: entender la idea, fijar algunas reglas, comprobar si las distingues bien y luego practicar.

1Lectura

Idea central

2Lectura

Restricciones primero

3Lectura

Simplificar bien

4Lectura

Multiplicar y dividir fracciones algebraicas

5Lectura

Suma y resta

6Lectura

Igualdad de fracciones y ecuaciones racionales

7Lectura

Fracciones complejas

8Lectura

Donde aparece esto en olimpiadas

9Lectura

Una igualdad entre fracciones que pide cuidado

10Practica

Ejercicios

Idea central

Una fraccion algebraica es un cociente entre expresiones. Se parece a una fraccion numerica, pero en algebra hay un cuidado extra:

  • el denominador depende de variables;
  • algunas operaciones cambian el dominio;
  • y simplificar no significa borrar cosas visualmente parecidas, sino trabajar con factores.

Definicion

Regla de seguridad

Si una expresion esta en el denominador, nunca puede valer 00.

Restricciones primero

Antes de simplificar, sumar o resolver, pregunta:

para que valores la expresion ni siquiera tiene sentido.

Ejemplo 1

En

x+3x−2\frac{x+3}{x-2}

debemos exigir:

x−2≠0  ⟹  x≠2.x-2 \neq 0 \implies x \neq 2.

Esa restriccion acompana a toda la expresion, aunque luego la transformes.

Ejemplo 2

En

x+1x2−9\frac{x+1}{x^2-9}

el denominador factoriza como

x2−9=(x−3)(x+3).x^2-9=(x-3)(x+3).

Por tanto:

x≠3,x≠−3.x \neq 3, \qquad x \neq -3.

Simplificar bien

Solo se cancelan factores completos, no terminos sueltos.

Ejemplo 3

Simplifica

x2−9x−3.\frac{x^2-9}{x-3}.

Factorizamos el numerador:

x2−9x−3=(x−3)(x+3)x−3.\frac{x^2-9}{x-3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3}.

Ahora si se puede cancelar el factor (x−3)(x-3):

x2−9x−3=x+3,\frac{x^2-9}{x-3} = x+3,

pero conservando la restriccion original

x≠3.x \neq 3.

Eso es importante: la nueva expresion y la original no tienen exactamente el mismo dominio.

Atencion:

No puedes pasar de

x+3x\frac{x+3}{x}

a 33 "cancelando la xx". El numerador es una suma, no un producto.

Multiplicar y dividir fracciones algebraicas

Aqui el reflejo correcto es:

  1. factorizar todo lo factorizable;
  2. convertir la division en producto por el reciproco;
  3. cancelar solo factores.

Ejemplo 4

Simplifica

x2−1x2−2x+1.\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}.

Factorizamos:

x2−1=(x−1)(x+1),x2−2x+1=(x−1)2.x^2-1=(x-1)(x+1), \qquad x^2-2x+1=(x-1)^2.

Entonces:

x2−1x2−2x+1=(x−1)(x+1)(x−1)2=x+1x−1,\frac{x^2-1}{x^2-2x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2} = \frac{x+1}{x-1},

con la restriccion

x≠1.x \neq 1.

Suma y resta

Sumar fracciones algebraicas exige denominador comun, igual que en aritmetica.

Ejemplo 5

Suma

1x+1x+1.\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}.

El denominador comun es x(x+1)x(x+1):

1x+1x+1=x+1x(x+1)+xx(x+1)=2x+1x(x+1).\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{x+1}{x(x+1)} + \frac{x}{x(x+1)} = \frac{2x+1}{x(x+1)}.

Aqui tambien hay restricciones:

x≠0,x≠−1.x \neq 0, \qquad x \neq -1.

Ejemplo 6

Simplifica

2x−1x+1.\frac{2}{x} - \frac{1}{x+1}.

Con denominador comun x(x+1)x(x+1):

2x−1x+1=2(x+1)x(x+1)−xx(x+1)=x+2x(x+1).\frac{2}{x} - \frac{1}{x+1} = \frac{2(x+1)}{x(x+1)} - \frac{x}{x(x+1)} = \frac{x+2}{x(x+1)}.

Igualdad de fracciones y ecuaciones racionales

Cuando resuelves una ecuacion con fracciones, no basta manipular: hay que vigilar restricciones y verificar soluciones.

Ejemplo 7

Resuelve

x+1x−2=2.\frac{x+1}{x-2} = 2.

Primero:

x≠2.x \neq 2.

Luego resolvemos:

x+1=2(x−2).x+1 = 2(x-2).

Entonces:

x+1=2x−4  ⟹  x=5.x+1 = 2x-4 \implies x=5.

Verificamos que x=5x=5 no viola la restriccion. Por tanto, la solucion es valida.

Fracciones complejas

Una fraccion compleja suele mejorar cuando conviertes todo a una sola fraccion o multiplicas por una expresion comun.

Ejemplo 8

Simplifica

1x+1y1x.\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x}}.

Primero simplificamos el numerador:

1x+1y=x+yxy.\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x+y}{xy}.

Entonces:

x+yxy1x=x+yxy⋅x=x+yy.\frac{\frac{x+y}{xy}}{\frac{1}{x}} = \frac{x+y}{xy}\cdot x = \frac{x+y}{y}.

Tambien aqui debes recordar que

x≠0,y≠0.x \neq 0, \qquad y \neq 0.

Donde aparece esto en olimpiadas

Las fracciones algebraicas reaparecen cuando:

  • simplificas una identidad antes de reconocer una estructura;
  • resuelves ecuaciones racionales con cuidado;
  • haces analisis de signo;
  • y controlas denominadores en problemas con parametros.

Muchas veces el error no esta en el calculo grande, sino en una cancelacion ilegal al inicio.

Tip:

Si una fraccion algebraica se ve fea, primero factoriza. En algebra, la factorizacion suele aclarar mas que cualquier expansion.

Una igualdad entre fracciones que pide cuidado

Cruzar productos puede ser legitimo, pero solo despues de mirar las restricciones.

Ejemplo 9

Resuelve

xx+1=23.\frac{x}{x+1}=\frac{2}{3}.

Primero marcamos la restriccion:

x≠−1.x \neq -1.

Ahora si podemos cruzar:

3x=2(x+1).3x = 2(x+1).

Entonces:

3x=2x+2  ⟹  x=2.3x=2x+2 \implies x=2.

Como 2≠−12 \neq -1, la solucion es valida.

Ejercicios

Ejercicio

Nivel 1/5

Simplifica, indicando restricciones:

x2−16x−4.\frac{x^2-16}{x-4}.

Ejercicio

Nivel 2/5

Simplifica:

x2+5x+6x2−9.\frac{x^2+5x+6}{x^2-9}.

Ejercicio

Nivel 2/5

Suma:

2x−1x+1.\frac{2}{x} - \frac{1}{x+1}.

Ejercicio

Nivel 3/5

Resuelve, cuidando restricciones:

x+1x−2=2.\frac{x+1}{x-2} = 2.

Ejercicio

Nivel 3/5

Simplifica:

1x+1x+11x.\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}}{\frac{1}{x}}.

Ejercicio

Nivel 4/5

Determina para que valores de xx la expresion

x2−1x2−5x+6\frac{x^2-1}{x^2-5x+6}

esta definida y luego simplificala lo mas posible.

Ejercicio

Nivel 3/5

Simplifica, indicando restricciones:

x2−9x2+x−6.\frac{x^2-9}{x^2+x-6}.

Ejercicio

Nivel 3/5

Resuelve:

2x+1x−1=3.\frac{2x+1}{x-1}=3.

Errores que conviene vigilar

  • Cancelar terminos en vez de cancelar factores.
  • Olvidar las restricciones sobre el denominador.
  • Sumar fracciones sin llevarlas a un denominador comun.

Si quieres seguir leyendo

Estos temas encajan bien como siguiente paso natural despues de este tema.

ALGEcuaciones cuadraticasALGInecuaciones y analisis de signo