Factorizacion

Que aprenderas

Que significa factorizar y por que conviene hacerlo.
Como elegir entre factor comun, agrupacion o identidades.
Como factorizar trinomios sencillos y trinomios con coeficiente principal distinto de $1$ .
Como detectar cuando una expresion se deja mirar como cuadratica en otra variable.
Como revisar si una factorizacion esta realmente terminada.
Como seguir un desarrollo paso a paso sin perder el hilo.

Definicion

Factorizar una expresion

Factorizar significa escribir una suma o diferencia como un producto.

Por ejemplo:

$ab + ac = a(b+c)$

La informacion no cambia, pero la estructura si. Y esa nueva estructura suele ser mucho mas util.

Idea de fondo

Factorizar no es "adivinar parentesis". Es aprender a mirar una expresion y reconocer su estructura.

La pregunta util no es "cual es la respuesta final", sino "cual es el primer paso correcto".

Cuando un estudiante ve solo la respuesta final, suele quedarse con la impresion de que la factorizacion sale de golpe. En realidad, casi siempre nace de una secuencia corta de decisiones:

mirar que comparten los terminos;
reconocer patrones;
elegir una tecnica;
verificar si ya terminaste.

Ese es el hilo que vamos a seguir en este tema.

Antes de empezar: lee la estructura

Cuando ves una expresion, no preguntes solo "que formula uso". Pregunta:

Hay un factor comun evidente.
Parece una identidad conocida.
Tiene cuatro terminos que se pueden agrupar.
Es un trinomio cuadratico.
Se puede mirar como polinomio en otra expresion, por ejemplo en $x^2$ .

Esa pequena pausa evita muchos errores.

Tip:

Si al empezar un ejercicio no sabes que tecnica conviene, no intentes recordar todas a la vez. Basta una pregunta: "cual es la estructura mas visible aqui?".

Antes de mirar los desarrollos, usa esta brujula. No reemplaza la teoria; solo te ayuda a poner la primera mirada en el lugar correcto.

Brújula de lectura

Si ves esto, prueba por aquí

Úsala para elegir el primer movimiento. No es una fórmula mágica: solo te ayuda a no entrar por la puerta equivocada.

Si ves esto

Todos los terminos comparten numero o variable.

Prueba primero

Sacar factor comun.

Cuidado con

No perseguir una identidad antes de hacer el paso mas barato.

Si ves esto

Dos terminos, ambos cuadrados, y ademas hay resta.

Prueba primero

Diferencia de cuadrados.

Cuidado con

La suma de cuadrados no entra aqui en los reales.

Si ves esto

Un trinomio de la forma

x^2+bx+c

Prueba primero

Buscar suma y producto.

Cuidado con

No usar esta lectura si el coeficiente de

x^2

no es

1

Si ves esto

Un trinomio de la forma

ax^2+bx+c

con

a\neq 1

Prueba primero

Metodo ac.

Cuidado con

No mezclarlo con la receta monica.

Si ves esto

Potencias como

x^4

x^2

y constante, o una misma expresion repetida.

Prueba primero

Mirar la expresion como cuadratica en otra variable.

Cuidado con

No pelear con el grado antes de cambiar la mirada.

Si ves esto

Cuatro terminos con posibilidad de bloque comun.

Prueba primero

Agrupacion.

Cuidado con

No agrupar al azar: la agrupacion debe fabricar el mismo parentesis.

Si ves esto	Prueba primero	Cuidado con
Todos los terminos comparten numero o variable.	Sacar factor comun.	No perseguir una identidad antes de hacer el paso mas barato.
Dos terminos, ambos cuadrados, y ademas hay resta.	Diferencia de cuadrados.	La suma de cuadrados no entra aqui en los reales.
Un trinomio de la forma $x^2+bx+c$ .	Buscar suma y producto.	No usar esta lectura si el coeficiente de $x^2$ no es $1$ .
Un trinomio de la forma $ax^2+bx+c$ con $a\neq 1$ .	Metodo ac.	No mezclarlo con la receta monica.
Potencias como $x^4$ , $x^2$ y constante, o una misma expresion repetida.	Mirar la expresion como cuadratica en otra variable.	No pelear con el grado antes de cambiar la mirada.
Cuatro terminos con posibilidad de bloque comun.	Agrupacion.	No agrupar al azar: la agrupacion debe fabricar el mismo parentesis.

Antes de elegir tecnica

Lecturas de entrada

La idea no es correr hacia una formula. La idea es aprender a reconocer cual es la primera mirada que ordena el ejercicio.

Caso 1

¿Cual es la primera lectura util?

6x^3 - 4x^2 + 10x

Lo que conviene mirar primero

Preguntar si los terminos comparten un factor comun.

Exacto. Todos comparten

2x

, asi que el primer movimiento correcto es sacar factor comun.

Primer paso razonable

6x^3 - 4x^2 + 10x = 2x(3x^2 - 2x + 5)

No te dejes llevar por

Expandirlo todo para ver mas terminos.

Aplicar diferencia de cuadrados porque hay potencias.

Intentar una agrupacion al azar.

Idea que conviene retener

En factorizacion, el mejor primer paso suele ser el mas barato: si hay factor comun, se saca antes de probar cosas mas finas.

Caso 2

¿Que decision mejora la lectura del ejercicio?

-3x^2 + 12x - 12

Lo que conviene mirar primero

Sacar

-3

para dejar un trinomio mas facil de reconocer.

Exacto. Sacar

-3

deja

x^2 - 4x + 4

, que se reconoce enseguida como cuadrado perfecto.

Primer paso razonable

-3x^2 + 12x - 12 = -3(x^2 - 4x + 4)

No te dejes llevar por

Sacar

3

y continuar con

-x^2 + 4x - 4

Aplicar de inmediato formula de trinomio monico sin sacar nada.

Agrupar los dos primeros y el ultimo termino.

Idea que conviene retener

A veces dos pasos son correctos, pero uno deja una expresion mucho mas facil de leer. Esa sensibilidad tambien se entrena.

Caso 3

¿Cual es la primera mirada prometedora?

x^4 - 13x^2 + 36

Lo que conviene mirar primero

Mirarlo como una cuadratica en

x^2

Exacto. Tiene forma grado

4

, grado

2

y constante, asi que conviene poner

u=x^2

y reducirla a una cuadratica comun.

Primer paso razonable

u = x^2 \quad\Rightarrow\quad u^2 - 13u + 36

No te dejes llevar por

Agrupar los dos primeros y los dos ultimos terminos.

Aplicar suma o diferencia de cubos.

Expandir mas para detectar un patron.

Idea que conviene retener

Cuando la variable aparece con potencias pares repetidas, muchas veces conviene cambiar la variable mentalmente antes de factorizar.

Caso 4

¿Que primer movimiento tiene mas sentido?

x^3 + 2x^2 - 9x - 18

Lo que conviene mirar primero

Agrupar en dos bloques que produzcan el mismo parentesis.

Exacto. Con cuatro terminos, la pregunta correcta es si una agrupacion razonable revela un bloque comun.

Primer paso razonable

(x^3 + 2x^2) + (-9x - 18)

No te dejes llevar por

Buscar una pareja de numeros como en un trinomio.

Aplicar diferencia de cuadrados.

Decidir que no se puede factorizar.

Idea que conviene retener

Una buena lectura inicial evita aplicar recetas fuera de contexto. No todo polinomio se trata como trinomio.

Nota:

Desde aqui conviene adoptar una costumbre que te va a ahorrar muchos errores: encontrar un factor util no significa haber terminado. Cada vez que factorices algo, vuelve a preguntar si los factores que quedaron todavia se pueden romper.

Factor comun: empieza por lo mas barato

Si todos los terminos comparten algo, ese algo manda la lectura. En olimpiadas y en clase, este paso suele ser el de menor costo y mayor retorno.

Desarrollo guiado

Ejemplo 1. Factor comun en tres terminos

La meta no es solo sacar algo fuera del parentesis, sino sacar el mayor factor comun razonable.

1Mira que comparten todos los terminos

6x^3 - 4x^2 + 10x

todos los terminos son multiplos de $2$ y todos contienen al menos una $x$ .

Eso sugiere que el factor comun no es solo $2$ ni solo $x$ , sino $2x$ .

2Saca ese factor comun con cuidado

Si sacamos $2x$ , cada termino debe quedar dividido entre $2x$ :

6x^3 \div 2x = 3x^2,\qquad -4x^2 \div 2x = -2x,\qquad 10x \div 2x = 5.

Entonces:

6x^3 - 4x^2 + 10x = 2x(3x^2 - 2x + 5).

3Preguntate si ya terminaste

El trinomio

3x^2 - 2x + 5

ya no tiene factor comun evidente ni coincide con una identidad simple del nivel. Por eso esta factorizacion puede darse por terminada.

Tip:

El mayor factor comun es el mejor primer intento. Si existe, casi siempre conviene sacarlo.

Desarrollo guiado

Ejemplo 2. Cuando conviene sacar factor comun negativo

Aprender a elegir el signo del factor comun para que la expresion restante se lea mejor.

1No saques cualquier factor: piensa en la lectura que dejara

Aqui hay una decision pequena que cambia mucho la lectura. Mira

-3x^2 + 12x - 12.

Todos los terminos comparten $3$ , pero si sacas $3$ quedaria

3(-x^2 + 4x - 4),

y esa forma cuesta mas reconocer. Por eso conviene sacar $-3$ .

2Saca

-3

y verifica cada signo

Dividiendo termino a termino entre $-3$ obtenemos:

-3x^2 + 12x - 12 = -3(x^2 - 4x + 4).

Este paso es muy bueno porque el trinomio que queda ya suena a cuadrado perfecto.

3Reconoce la identidad notable

x^2 - 4x + 4

el primero es $x^2$ , el ultimo es $2^2$ y el termino del medio es

-2(x)(2) = -4x.

Por tanto:

x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2.

4Escribe la factorizacion final

Sustituyendo:

-3x^2 + 12x - 12 = -3(x-2)^2.

Diferencia de cuadrados: dos cuadrados y una resta

Aqui el patron es exigente: no basta con ver cuadrados. Necesitas exactamente dos terminos y, ademas, una resta entre ellos.

Idea clave

Diferencia de cuadrados

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

Desarrollo guiado

Ejemplo 3. Diferencia de cuadrados sin perder el patron

Antes de aplicar la identidad, verifica dos cosas: hay una resta y ambos terminos son cuadrados.

1Reconoce la forma

Aqui el patron aparece casi de inmediato. Observa

4x^2 - 9y^2.

Tiene dos terminos, estan restando y ambos son cuadrados:

4x^2 = (2x)^2,\qquad 9y^2 = (3y)^2.

2Reescribe la expresion como

a^2-b^2

Entonces:

4x^2 - 9y^2 = (2x)^2 - (3y)^2.

Ahora ya encaja exactamente en la identidad

a^2-b^2 = (a+b)(a-b).

3Aplica la identidad con cuidado

Sustituyendo $a=2x$ y $b=3y$ :

(2x)^2 - (3y)^2 = (2x+3y)(2x-3y).

4Conclusion

Por tanto:

4x^2 - 9y^2 = (2x+3y)(2x-3y).

Atencion:

$a^2+b^2$ no factoriza en los reales. Ver dos cuadrados no basta; el signo importa.

Lectura fina

Cual de estas expresiones se parece a una diferencia de cuadrados, pero no entra en esa tecnica en los reales?

x^2-16

x^2+16

9a^2-b^2

x^4-1

Ver respuesta y explicacion

Respuesta correcta: B.

La trampa es $x^2+16$ . Hay dos cuadrados, si, pero no hay resta. Las otras tres si arrancan como diferencia de cuadrados, aunque algunas luego admiten una segunda factorizacion.

Trinomios monicos: suma y producto

Cuando el coeficiente de $x^2$ vale $1$ , la lectura natural es buscar dos numeros que trabajen a la vez para la suma y para el producto.

Para factorizar

$x^2 + bx + c$

buscamos dos numeros $p$ y $q$ tales que

$p+q=b \qquad \text{y} \qquad pq=c.$

Entonces:

$x^2 + bx + c = (x+p)(x+q).$

Desarrollo guiado

Ejemplo 4. Trinomio monico

Cuando el coeficiente de $x^2$ es $1$ , el juego consiste en buscar suma y producto al mismo tiempo.

1Lee la forma del trinomio

En este caso la expresion ya esta en la forma mas comoda:

x^2 + 7x + 12.

Como el coeficiente de $x^2$ es $1$ , buscamos dos numeros $p$ y $q$ tales que:

p+q=7,\qquad pq=12.

2Busca la pareja correcta

Las parejas de factores de $12$ son:

1\cdot 12,\qquad 2\cdot 6,\qquad 3\cdot 4.

La unica que suma $7$ es $3$ y $4$ .

3Escribe los binomios

Eso nos da:

x^2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4).

4Haz una verificacion corta

Si expandes:

(x+3)(x+4)=x^2+4x+3x+12=x^2+7x+12.

La comprobacion te devuelve exactamente el trinomio original.

No mezcles dos casos

Antes de usar la busqueda de dos numeros que suman $b$ y multiplican $c$ , que detalle debes confirmar?

A. Que el coeficiente de

x

sea positivo.

B. Que el coeficiente de

x^2

sea

1

C. Que el termino independiente sea positivo.

D. Que el trinomio tenga siempre raices enteras.

Ver respuesta y explicacion

Respuesta correcta: B.

La regla directa de suma y producto es la lectura natural cuando el trinomio es monico, es decir, cuando el coeficiente de $x^2$ vale $1$ . Si no, conviene pasar al metodo $ac$ o a otra lectura equivalente.

Trinomios no monicos: metodo ac

Cuando el coeficiente de $x^2$ no es $1$ , conviene usar el metodo del producto $ac$ .

Desarrollo guiado

Ejemplo 5. Trinomio no monico con metodo $ac$

Aqui ya no basta con buscar dos numeros que sumen el termino del medio: primero hay que mezclar el primero y el ultimo coeficiente.

1Identifica

a

b

c

Ahora si aparece el primer caso en que la receta anterior ya no alcanza. En

2x^2 + 7x + 3

tenemos:

a=2,\qquad b=7,\qquad c=3.

2Calcula el producto

ac

Multiplicamos:

ac=2\cdot 3 = 6.

Ahora buscamos dos numeros que multipliquen $6$ y sumen $7$ .

3Parte el termino del medio

Los numeros buscados son $6$ y $1$ , asi que:

2x^2 + 7x + 3 = 2x^2 + 6x + x + 3.

Ese paso es el puente que permite agrupar.

4Agrupa y saca factor comun por bloques

Ahora agrupamos:

2x^2 + 6x + x + 3 = 2x(x+3) + 1(x+3).

En ambos bloques aparece el factor $(x+3)$ .

5Escribe el producto final

Entonces:

2x(x+3) + 1(x+3) = (2x+1)(x+3).

Cuadratica escondida: cambia la mirada

A veces el problema no es la tecnica, sino la variable con la que estas mirando. Cambiar de mirada vuelve visible una estructura que antes parecia demasiado larga.

A veces no tienes una cuadratica en $x$ , sino en otra expresion como $x^2$ , $a+b$ o incluso $xy$ .

Desarrollo guiado

Ejemplo 6. Una cuadratica escondida

Cuando aparece $x^4$ , no siempre hay que pelear directamente con grado $4$ : a veces conviene cambiar la mirada.

1Mira la expresion como polinomio en

x^2

A primera vista el grado puede intimidar. Sin embargo, la estructura es bastante amable:

x^4 - 5x^2 + 4.

Observa que aparece $x^4$ , luego $x^2$ y luego un numero. Eso sugiere hacer la sustitucion

u=x^2.

2Reescribe en la nueva variable

Con esa sustitucion, la expresion queda:

u^2 - 5u + 4.

Ahora si tenemos una cuadratica comun.

3Factoriza la cuadratica auxiliar

Buscamos dos numeros que sumen $-5$ y multipliquen $4$ . Son $-1$ y $-4$ :

u^2 - 5u + 4 = (u-1)(u-4).

4Vuelve a la variable original

Sustituyendo otra vez $u=x^2$ :

x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2-1)(x^2-4).

5No te detengas demasiado pronto

Cada uno de esos factores todavia puede romperse por diferencia de cuadrados:

x^2-1=(x-1)(x+1),\qquad x^2-4=(x-2)(x+2).

Entonces la factorizacion completa es

x^4 - 5x^2 + 4 = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2).

Agrupacion: fabrica un parentesis comun

Agrupar no es partir la expresion en dos por costumbre. Sirve cuando esa particion hace aparecer un mismo bloque en ambos lados.

Desarrollo guiado

Ejemplo 7. Agrupacion y segunda factorizacion

Agrupar no es solo partir en dos mitades: hay que agrupar de modo que aparezca un mismo bloque.

1Prueba una agrupacion natural

Cuando aparecen cuatro terminos, lo primero es probar si dos bloques bien elegidos revelan una misma pieza. Mira

x^3 - 4x^2 - x + 4.

Lo mas natural es agrupar los dos primeros y los dos ultimos:

(x^3 - 4x^2) + (-x + 4).

2Saca factor comun en cada bloque

En el primer bloque sale $x^2$ ; en el segundo, conviene sacar $-1$ :

x^3 - 4x^2 - x + 4 = x^2(x-4) - 1(x-4).

El premio por haber sacado $-1$ es que aparece el mismo parentesis $(x-4)$ .

3Saca ahora el factor comun por bloques

Como ambos terminos contienen $(x-4)$ :

x^2(x-4) - 1(x-4) = (x^2-1)(x-4).

4Termina la factorizacion

Todavia falta factorizar

x^2-1,

que es diferencia de cuadrados:

x^2-1=(x-1)(x+1).

Entonces:

x^3 - 4x^2 - x + 4 = (x-1)(x+1)(x-4).

Agrupar con criterio

Que hace buena a una agrupacion?

A. Que los bloques tengan el mismo numero de terminos.

B. Que aparezca un parentesis comun despues de sacar factor en cada bloque.

C. Que el primer bloque tenga coeficientes positivos.

D. Que la expresion quede mas larga antes de simplificarse.

Ver respuesta y explicacion

Respuesta correcta: B.

Agrupar no consiste en partir por partir. Una agrupacion vale la pena cuando, despues de sacar factor comun en cada bloque, aparece el mismo parentesis y puedes factorizar una vez mas.

Cadena de decisiones: cuando una tecnica no basta

Muchos ejercicios no caen con un solo golpe. Lo importante es reconocer cual es la siguiente tecnica correcta despues del primer paso.

Desarrollo guiado

Ejemplo 8. Una cadena de decisiones

En muchos ejercicios no basta una sola tecnica: la clave es usar la siguiente tecnica correcta en el momento correcto.

1No te lances al trinomio demasiado pronto

Este es un buen ejemplo de ejercicio que castiga la prisa:

2x^3 - 8x^2 - 10x.

Antes de mirar el trinomio, pregunta si hay factor comun. Si lo hay, esa es la primera puerta.

2Saca el factor comun

Todos los terminos comparten $2x$ :

2x^3 - 8x^2 - 10x = 2x(x^2 - 4x - 5).

3Ahora si mira el trinomio restante

x^2 - 4x - 5

buscamos dos numeros que sumen $-4$ y multipliquen $-5$ . Son $-5$ y $1$ .

4Factoriza el trinomio

Por tanto:

x^2 - 4x - 5 = (x-5)(x+1).

5Escribe la forma completa

Sustituyendo:

2x^3 - 8x^2 - 10x = 2x(x-5)(x+1).

Ese es un ejemplo tipico de cadena: primero factor comun, luego trinomio.

Nota:

Una factorizacion no termina cuando encuentras un factor. Termina cuando cada factor ya no se puede descomponer mas con las tecnicas del nivel.

Idea clave

Hasta aqui termina la lectura base

Si ya entendiste como se abre cada tipo de ejercicio, ahora elige la siguiente parada segun lo que necesites: tarjetas para fijar reglas, comprobacion guiada para distinguir tecnicas o practica guiada para aprender resolviendo.

Repaso breve: tarjetas para fijar ideas

Si quieres asentar las ideas centrales antes de pasar a mas practica, haz una vuelta breve con estas tarjetas. La idea no es memorizar palabras sueltas, sino volver visibles las preguntas y reglas que conviene tener a mano mientras factorizas.

Tarjetas de memoria

Vuelta breve para fijar ideas

Primero intentas recordar, luego comparas con la respuesta y al final decides si esa idea ya esta firme o si conviene volver a una parte concreta del tema. La vuelta es efimera: no guarda progreso entre visitas.

Nuevas 8Para retomar 0Asentadas hoy 0

Idea centralTurno 1

Frente

Que significa factorizar?

Reverso

Aqui aparecera la decision de repaso

Primero intenta recordar. Cuando muestres la respuesta, podras decidir si esta idea queda firme por hoy o si conviene volver a una parte concreta del tema.

Comprobacion guiada: comprueba tu lectura

Despues de la teoria, conviene comprobar dos cosas: si reconoces bien la tecnica que abre un ejercicio y si sabes seguir un desarrollo sin perder la estructura. Esta prueba mezcla ambas.

Comprobacion guiada

Prueba breve de lectura y tecnica

Combina varios formatos para comprobar si ya distingues bien las tecnicas, los errores tipicos y el orden natural de una solucion.

Respuesta escritaOrdenar pasosCompletar metodoVerdadero/FalsoEmparejar ideasCorreccion parcial

Practica guiada: trabaja una tecnica cada vez

Practica guiada

Practica 1. Empieza por lo mas simple

Aqui lo importante es no saltarte el factor comun por querer ir demasiado rapido.

Factoriza completamente:

12x^2y - 8xy^2 + 4xy.

Pista 1

Todos los terminos comparten un numero y tambien las variables $x$ y $y$ .

Pista 2

El mayor factor comun es

4xy.

Ver solucion comentada

Sacando factor comun:

12x^2y - 8xy^2 + 4xy = 4xy(3x - 2y + 1).

El parentesis restante no se deja factorizar mas con las tecnicas basicas del tema, asi que esa ya es la factorizacion final.

Practica guiada

Practica 2. Decide entre trinomio monico o no monico

No todos los trinomios se factorizar igual. Aqui el coeficiente principal no es $1$ .

Factoriza completamente:

3x^2 - x - 2.

Pista 1

Como el coeficiente de $x^2$ es $3$ , conviene usar el metodo $ac$ .

Pista 2

Calcula

ac = 3\cdot(-2) = -6.

Necesitas dos numeros que multipliquen $-6$ y sumen $-1$ .

Ver solucion comentada

Los numeros buscados son $2$ y $-3$ , asi que partimos el termino del medio:

3x^2 - x - 2 = 3x^2 + 2x - 3x - 2.

Agrupamos:

3x^2 + 2x - 3x - 2 = x(3x+2) - 1(3x+2).

Entonces:

3x^2 - x - 2 = (x-1)(3x+2).

Practica guiada

Practica 3. No te asustes por el grado

Este tipo de ejercicio se vuelve mucho mas amigable cuando cambias la variable mentalmente.

Factoriza completamente:

x^4 - 13x^2 + 36.

Pista 1

Miralo como cuadratica en $u=x^2$ .

Pista 2

Debes factorizar

u^2 - 13u + 36.

Ver solucion comentada

Si $u=x^2$ , entonces:

x^4 - 13x^2 + 36 = u^2 - 13u + 36.

Buscamos dos numeros que sumen $-13$ y multipliquen $36$ : son $-4$ y $-9$ . Entonces:

u^2 - 13u + 36 = (u-4)(u-9).

Volviendo a $x^2$ :

x^4 - 13x^2 + 36 = (x^2-4)(x^2-9).

Y aun factorizamos por diferencia de cuadrados:

(x^2-4)(x^2-9) = (x-2)(x+2)(x-3)(x+3).

Cierre: revisa si terminaste

Una buena revision final suele responder tres preguntas:

Saque el mayor factor comun posible.
Cada factor restante ya no se deja romper con las tecnicas disponibles.
Si multiplico de nuevo, recupero exactamente la expresion original.

Ese tercer paso parece tedioso, pero evita muchisimos errores en entrenamiento y examen.

Aplicaciones: donde reaparece esta idea

La factorizacion sirve para:

simplificar fracciones algebraicas;
resolver ecuaciones;
estudiar raices de polinomios;
detectar divisibilidad en problemas menos directos.

Practica libre: ejercicios

Ejercicio

Nivel 1/5

Factoriza:

$x^4 - 16$

Pista: usa diferencia de cuadrados mas de una vez.

Ejercicio

Nivel 2/5

Factoriza:

$a^3 - ab^2$

Ejercicio

Nivel 3/5

Factoriza completamente:

x^3 + 2x^2 - 9x - 18.

Ejercicio

Nivel 3/5

Factoriza completamente:

2x^4 - 8x^2 + 6.

Pista: saca factor comun antes de mirar la cuadratica en $x^2$ .

Ejercicio

Nivel 4/5

Encuentra una expresion de la forma

x^2+bx+c

que factorice como

(x+5)(x-2).

Ejercicio

Nivel 4/5

Explica por que en

x^2+4

no basta con decir "son dos cuadrados" para intentar una diferencia de cuadrados.

Tres maneras utiles de abrir este tema

Ubicate sin abrir todo

Haz una vuelta completa

Comprueba si ya te sirve

Como conviene estudiar este tema

Empieza por la lectura base

Pasa a un recurso principal

Practica una tecnica cada vez

Repasa o comprueba solo si lo necesitas

Deja lo complementario para el final

Antes de abrir este tema

Teoria y desarrollo

Si te pierdes, usa este mapa

Que aprenderas

Idea de fondo

Antes de empezar: lee la estructura

Si ves esto, prueba por aquí

Lecturas de entrada

Factor comun: empieza por lo mas barato

Ejemplo 1. Factor comun en tres terminos

Ejemplo 2. Cuando conviene sacar factor comun negativo

Diferencia de cuadrados: dos cuadrados y una resta

Ejemplo 3. Diferencia de cuadrados sin perder el patron

Trinomios monicos: suma y producto

Ejemplo 4. Trinomio monico

Trinomios no monicos: metodo ac

Ejemplo 5. Trinomio no monico con metodo acacac

Cuadratica escondida: cambia la mirada

Ejemplo 6. Una cuadratica escondida

Agrupacion: fabrica un parentesis comun

Ejemplo 7. Agrupacion y segunda factorizacion

Cadena de decisiones: cuando una tecnica no basta

Ejemplo 8. Una cadena de decisiones

Repaso breve: tarjetas para fijar ideas

Vuelta breve para fijar ideas

Comprobacion guiada: comprueba tu lectura

Prueba breve de lectura y tecnica

Practica guiada: trabaja una tecnica cada vez

Practica 1. Empieza por lo mas simple

Practica 2. Decide entre trinomio monico o no monico

Practica 3. No te asustes por el grado

Cierre: revisa si terminaste

Aplicaciones: donde reaparece esta idea

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