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Inecuaciones y analisis de signo

Como resolver inecuaciones factorizando, ubicando puntos criticos y leyendo el signo de cada factor con cuidado.

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Brujula de estudio

Tres maneras utiles de abrir este tema

No todo se resuelve moviendo terminos: a veces hay que mirar donde cambia el signo.

Entrada~10 min

Ubicate sin abrir todo

Sirve cuando vienes con poco tiempo o solo quieres recordar la idea dominante antes de pasar a otra lectura.

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Principal~25 min

Haz una vuelta completa

Lectura base, un recurso central y una practica corta suelen bastar para que el tema ya empiece a quedarse.

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Cierre~10 min

Comprueba si ya te sirve

Util antes de clase, despues de entrenar o cuando quieras confirmar que no te llevas una confusion escondida.

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Ruta sugerida

Como conviene estudiar este tema

No hace falta abrir todo. Empieza por la lectura base, usa un recurso principal para mover la idea y deja lo complementario para cuando de verdad te aporte.

Paso 1Base

Empieza por la lectura base

Aqui construyes el mapa del tema: como reconocer la estructura, que tecnica conviene y donde suelen aparecer los errores.

Paso 2Principal

Pasa a un recurso principal

Usa una sola vista interactiva para mover la idea central sin abrir demasiadas cosas a la vez.

Paso 3Practica

Practica una tecnica cada vez

En esta parte ya no conviene seguir leyendo sin actuar: intenta ejercicios con pistas y comprueba si el metodo realmente te sale.

Paso 4Opcional por si te sirve

Deja lo complementario para el final

Video, quiz formal, PDF o recursos extra sirven como apoyo. No hace falta abrirlos todos para entender bien el tema.

Antes de abrir este tema

Si alguno de estos temas te falta, te conviene repasarlo primero para que la lectura fluya mejor.

ALGFactorizacion ALGFracciones algebraicas ALGDesigualdades algebraicas basicas

Lectura principal

Teoria y desarrollo

Recorrido sugerido

Si te pierdes, usa este mapa

No hace falta leer todo de un tiron. Puedes avanzar por bloques: entender la idea, fijar algunas reglas, comprobar si las distingues bien y luego practicar.

1Lectura

Idea central

2Lectura

El caso mas simple: producto de factores lineales

3Lectura

El reflejo correcto

4Lectura

Inecuaciones racionales

5Lectura

Inecuaciones cuadraticas

6Lectura

Que papel juega la multiplicidad

7Lectura

Como pensar antes de resolver

8Lectura

Conexion olimpica

9Practica

Ejercicios

Idea central

Cuando una desigualdad involucra productos o cocientes, muchas veces no conviene expandir todo. Conviene preguntar:

donde la expresion vale cero;
donde no esta definida;
y en que intervalos es positiva o negativa.

Eso es el analisis de signo.

El caso mas simple: producto de factores lineales

Ejemplo 1

Resuelve

(x-2)(x+1) \ge 0.

Los puntos criticos son:

x=-1 \qquad \text{y} \qquad x=2.

Dividimos la recta en intervalos:

$(-\infty,-1)$
$(-1,2)$
$(2,\infty)$

Probamos el signo en cada uno.

Si $x=-2$ :

(x-2)(x+1)=(-)(-)=(+).

Si $x=0$ :

(x-2)(x+1)=(-)(+) = (-).

Si $x=3$ :

(x-2)(x+1)=(+)(+)=(+).

Como buscamos que sea no negativa:

x \in (-\infty,-1] \cup [2,\infty).

El reflejo correcto

No memorices solo "alterna signos". Mejor recuerda por que:

el signo solo puede cambiar al pasar por un cero o por un punto no definido;
en cada intervalo abierto, el signo de cada factor se mantiene.

Inecuaciones racionales

Ejemplo 2

Resuelve

\frac{x-1}{x+2} < 0.

Los puntos criticos son:

$x=1$ , donde el numerador se anula;
$x=-2$ , donde la expresion no esta definida.

Estudiamos intervalos:

$(-\infty,-2)$
$(-2,1)$
$(1,\infty)$

Probando:

Si $x=-3$ :

\frac{x-1}{x+2} = \frac{-}{-} = +.

Si $x=0$ :

\frac{x-1}{x+2} = \frac{-}{+} = -.

Si $x=2$ :

\frac{x-1}{x+2} = \frac{+}{+} = +.

Por tanto:

x \in (-2,1).

El punto $x=-2$ nunca se incluye.

Inecuaciones cuadraticas

Ejemplo 4

Resuelve

x^2-5x+6 \le 0.

Factorizamos:

x^2-5x+6 = (x-2)(x-3).

Los puntos criticos son $x=2$ y $x=3$ . El producto de dos factores lineales es no positivo entre sus raices, asi que:

x \in [2,3].

Como la desigualdad es $\le 0$ , los extremos si se incluyen.

Que papel juega la multiplicidad

Si un factor aparece al cuadrado, su signo no cambia al cruzar su raiz.

Ejemplo 3

Estudia el signo de

(x-1)^2(x+3).

Al pasar por $x=1$ , el factor $(x-1)^2$ sigue siendo no negativo a ambos lados, asi que el signo global no cambia por ese factor. El cambio real de signo viene de $x=-3$ .

Eso es muy util cuando trabajas con polinomios factorizados y no quieres cometer errores de intervalo.

Como pensar antes de resolver

Factoriza todo lo que puedas.
Marca ceros y puntos prohibidos.
Ordena esos puntos en la recta.
Decide el signo en cada tramo.
Revisa si la desigualdad es estricta o no estricta.

Atencion:

Resolver una inecuacion no es solo "pasar terminos". Si multiplicas por una expresion de signo desconocido, puedes cambiar la desigualdad sin darte cuenta.

Conexion olimpica

En problemas de olimpiada, el analisis de signo no solo sirve para "resolver una inecuacion". Tambien sirve para:

demostrar que una expresion siempre es positiva;
decidir cuantos valores son posibles;
estudiar cuando una fraccion tiene sentido;
y controlar casos en argumentos mas largos.

Ejercicios

Ejercicio

Nivel 2/5

Resuelve

(x-4)(x+2) > 0.

Ejercicio

Nivel 3/5

Resuelve

\frac{x+1}{x-3} \le 0.

Ejercicio

Nivel 3/5

Estudia el signo de

(x-2)^2(x+5).

Ejercicio

Nivel 4/5

Resuelve

\frac{(x-1)(x-4)}{x+2} \ge 0.

Ejercicio

Nivel 3/5

Resuelve

x^2-7x+12 \le 0.

Ejercicio

Nivel 4/5

Resuelve

\frac{x-5}{(x-1)(x+2)} > 0.

Recta numerica para leer desigualdades

Antes de entrar a productos y cocientes, conviene dominar la lectura de abierto, cerrado, izquierda y derecha en la recta numerica.

Mientras lo usas

Que cambia entre $x<3$, $x\le 3$, $x>3$ y $x\ge 3$ en la grafica?
Por que un extremo puede quedar fuera aunque este marcado como punto critico?
Como conectarias esta recta numerica simple con una tabla de signos mas compleja?

Material complementario

Explora otras vistas solo si te ayudan

Este bloque es opcional. Sirve para variar la practica, comparar representaciones o ver el tema desde otra interfaz.

3 recursos

GeoGebraExploracionOpcional

Finding Solutions to an Inequality

Ayuda a pasar de la inecuacion simbolica a la idea de conjunto solucion, primero en grafica y luego en algebra.

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GeoGebraPracticaOpcional

Graphing Inequalities in Two Variables

Sirve para extender la intuicion de la recta numerica a regiones del plano y pensar mejor en signos y fronteras.

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GeoGebraExtensionOpcional

Graphing Solutions to Systems of Inequalities

Buen siguiente paso cuando ya controlas intervalos y quieres mirar superposicion de condiciones.

Abrir recurso

Errores que conviene vigilar

Olvidar que un denominador no puede ser cero.
Cambiar un signo sin revisar que factor es positivo o negativo en cada intervalo.
Incluir puntos donde la expresion no esta definida.

Si quieres seguir leyendo

Estos temas encajan bien como siguiente paso natural despues de este tema.

ALGCauchy-Schwarz y Titu's Lemma ALGPolinomios y teorema del factor

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