Ceva y Menelao

Tres maneras utiles de abrir este tema

Herramientas clasicas para controlar razones en triangulos.

Entrada~10 min

Sirve cuando vienes con poco tiempo o solo quieres recordar la idea dominante antes de pasar a otra lectura.

Principal~10 min

Lectura base, un recurso central y una practica corta suelen bastar para que el tema ya empiece a quedarse.

Cierre~10 min

Util antes de clase, despues de entrenar o cuando quieras confirmar que no te llevas una confusion escondida.

Cuando aparecen

Idea clave

Ceva

En el triangulo $ABC$ , los puntos $D,E,F$ estan en $BC,CA,AB$ respectivamente. Las rectas $AD,BE,CF$ son concurrentes si y solo si

\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1

Idea clave

Menelao

En el triangulo $ABC$ , una recta corta a $BC,CA,AB$ en $D,E,F$ (permitiendo prolongaciones) y los puntos son colineales si y solo si

\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1

con interpretacion orientada de segmentos.

Ceva responde a la pregunta "estas tres lineas se cruzan en un mismo punto?".

Menelao responde a la pregunta "estos tres puntos estan en una misma recta?".

Ejemplo 1

Si en un triangulo se sabe que

\frac{BD}{DC}=2, \qquad \frac{CE}{EA}=3, \qquad \frac{AF}{FB}=\frac{1}{6},

entonces el producto vale $1$ , asi que por Ceva las cevianas son concurrentes.

Ejercicio

Nivel 3/5

En un triangulo, dos razones de Ceva valen $2$ y $3$ . Halla la tercera para que haya concurrencia.