Semejanza de triángulos

Tres maneras utiles de abrir este tema

Domina los criterios de semejanza y úsalos para calcular longitudes y áreas.

Entrada~10 min

Ubicate sin abrir todo

Sirve cuando vienes con poco tiempo o solo quieres recordar la idea dominante antes de pasar a otra lectura.

Revisar base minimaIr Ver mapa del temaIr Abrir lectura principalIr

Principal~25 min

Haz una vuelta completa

Lectura base, un recurso central y una practica corta suelen bastar para que el tema ya empiece a quedarse.

Leer con calmaIr Abrir recurso principalIr Ir a practicaIr

Cierre~10 min

Comprueba si ya te sirve

Util antes de clase, despues de entrenar o cuando quieras confirmar que no te llevas una confusion escondida.

Mirar errores frecuentesIr Elegir siguiente pasoIr

¿Qué aprenderás?

Qué significa que dos triángulos sean semejantes.
Los tres criterios de semejanza: AA, LAL y LLL.
Cómo calcular longitudes desconocidas usando proporciones.
La relación entre la razón de semejanza y el área.
Patrones comunes de semejanza en problemas olímpicos.

Definición

Definicion

Triángulos semejantes

Dos triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle DEF$ son semejantes (escritos $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ ) si:

Sus ángulos correspondientes son iguales: $\angle A = \angle D$ , $\angle B = \angle E$ , $\angle C = \angle F$ .
Sus lados correspondientes son proporcionales:

$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD} = k$

El valor $k$ se llama la razón de semejanza.

Nota:

El orden de los vértices en la notación $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ importa: indica cuáles vértices se corresponden.

Criterios de semejanza

Criterio AA (Ángulo-Ángulo)

Idea clave

Criterio AA

Si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes.

Este es el criterio más usado en olimpiadas. Como la suma de ángulos en un triángulo es $180°$ , basta verificar dos ángulos iguales.

Ejemplo 1

En $\triangle ABC$ , $\angle A = 40°$ y $\angle B = 70°$ . En $\triangle DEF$ , $\angle D = 40°$ y $\angle E = 70°$ .

Entonces $\angle C = \angle F = 70°$ , por lo que $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ (criterio AA).

Criterio LAL (Lado-Ángulo-Lado)

Idea clave

Criterio LAL

Si dos lados de un triángulo son proporcionales a dos lados de otro, y los ángulos comprendidos (entre esos lados) son iguales, entonces los triángulos son semejantes.

Criterio LLL (Lado-Lado-Lado)

Idea clave

Criterio LLL

Si los tres pares de lados correspondientes son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.

Usando proporciones para calcular longitudes

Ejemplo 2

Sea $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ con razón de semejanza $k = 3$ . Si $BC = 5$ , ¿cuánto mide $EF$ ?

Como los lados son proporcionales con razón $k = 3$ :

$\frac{BC}{EF} = \frac{1}{3} \implies EF = 3 \cdot BC = 3 \cdot 5 = 15$

Razón de áreas

Idea clave

Razón de áreas en triángulos semejantes

Si $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ con razón de semejanza $k$ , entonces:

$\frac{[\triangle ABC]}{[\triangle DEF]} = k^2$

El área escala con el cuadrado de la razón de semejanza.

Atencion:

Este es un error muy frecuente: si los lados tienen razón $k = 2$ , las áreas tienen razón $k^2 = 4$ , no $2$ .

Técnica olímpica: encontrar triángulos semejantes

En muchos problemas geométricos, la clave está en identificar pares de triángulos semejantes. Las situaciones más comunes son:

Transversal que corta dos paralelas: los triángulos formados son semejantes por AA.
Cuerda y tangente en una circunferencia: generan triángulos semejantes.
Alturas y proyecciones: el triángulo rectángulo y sus subtriángulos son semejantes entre sí.

Ejemplo 3

En un triángulo rectángulo $\triangle ABC$ con $\angle C = 90°$ , la altura desde $C$ hasta $AB$ tiene pie $H$ . Demuestra que $\triangle ACH \sim \triangle ABC$ .

Demostración: En $\triangle ACH$ , $\angle AHC = 90°$ y $\angle A$ es común con $\triangle ABC$ . Por AA, $\triangle ACH \sim \triangle ABC$ . $\square$

De aquí se deduce: $AC^2 = AH \cdot AB$ (relación de la altura sobre la hipotenusa).

Ejercicios

Ejercicio

Nivel 2/5

En la figura, $DE \parallel BC$ . Si $AD = 3$ , $DB = 5$ y $BC = 16$ , encuentra $DE$ .

Ejercicio

Nivel 3/5

Dos triángulos semejantes tienen perímetros $18$ y $30$ . Si el área del menor es $54$ , ¿cuál es el área del mayor?

Ejercicio

Nivel 4/5

Sea $\triangle ABC$ con $AB = c$ , $BC = a$ , $CA = b$ . La bisectriz del ángulo $A$ corta a $BC$ en $D$ . Usando semejanza, demuestra que $\frac{BD}{DC} = \frac{c}{b}$ .

Errores que conviene vigilar

Confundir semejanza con congruencia. Semejanza implica misma forma pero no necesariamente mismo tamaño.

Establecer la razón de lados en orden incorrecto al hacer la proporción. Los lados correspondientes deben ir siempre en el mismo orden.

Olvidar que la razón de áreas es el cuadrado de la razón de semejanza, no la misma razón.

Usar el criterio LAL cuando los ángulos dados NO están entre los lados conocidos.

Tres maneras utiles de abrir este tema

Ubicate sin abrir todo

Haz una vuelta completa

Comprueba si ya te sirve

Como conviene estudiar este tema

Empieza por la lectura base

Pasa a un recurso principal

Practica una tecnica cada vez

Antes de abrir este tema

Teoria y desarrollo

Si te pierdes, usa este mapa

¿Qué aprenderás?

Definición

Criterios de semejanza

Criterio AA (Ángulo-Ángulo)

Criterio LAL (Lado-Ángulo-Lado)

Criterio LLL (Lado-Lado-Lado)

Usando proporciones para calcular longitudes

Razón de áreas

Técnica olímpica: encontrar triángulos semejantes

Ejercicios

Exploracion interactiva

Errores que conviene vigilar

Si quieres seguir leyendo

Temas relacionados

Potencia de un punto

Ceva y Menelao