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Homogeneizacion y normalizacion

Como reescribir desigualdades para aprovechar mejor la escala, las condiciones dadas y las sustituciones simetricas.

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Brujula de estudio

Tres maneras utiles de abrir este tema

Una tecnica muy util cuando las variables tienen una condicion como suma fija o producto fijo.

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Ruta sugerida

Como conviene estudiar este tema

No hace falta abrir todo. Empieza por la lectura base, usa un recurso principal para mover la idea y deja lo complementario para cuando de verdad te aporte.

Paso 1Base

Empieza por la lectura base

Aqui construyes el mapa del tema: como reconocer la estructura, que tecnica conviene y donde suelen aparecer los errores.

Paso 2Practica

Practica una tecnica cada vez

En esta parte ya no conviene seguir leyendo sin actuar: intenta ejercicios con pistas y comprueba si el metodo realmente te sale.

Antes de abrir este tema

Si alguno de estos temas te falta, te conviene repasarlo primero para que la lectura fluya mejor.

ALGCauchy-Schwarz y Titu's LemmaALGSimetria y sustitucionALGDesigualdades algebraicas basicas

Lectura principal

Teoria y desarrollo

Recorrido sugerido

Si te pierdes, usa este mapa

No hace falta leer todo de un tiron. Puedes avanzar por bloques: entender la idea, fijar algunas reglas, comprobar si las distingues bien y luego practicar.

1Lectura

Idea central

2Lectura

Que significa homogenea

3Lectura

Un chequeo rapido de grados

4Lectura

Por que esto ayuda

5Lectura

Una normalizacion clasica

6Lectura

Una desigualdad de tres variables con suma fija

7Lectura

Homogeneizar una desigualdad

8Lectura

Cuando conviene normalizar

9Lectura

Cuando no conviene

10Lectura

Conexion con simetria

11Practica

Una regla practica de supervivencia

12Practica

Ejercicios

Idea central

Muchas desigualdades de olimpiada no se resuelven por expansion brutal. Se ordenan mejor cuando aprovechas la escala del problema.

Dos preguntas clave son:

  1. La desigualdad es homogenea.
  2. Hay una condicion que me permite fijar una suma o un producto.

Si la respuesta es si, normalizar puede simplificar muchisimo.

Que significa homogenea

Una expresion es homogenea si todos sus terminos tienen el mismo grado total.

Por ejemplo:

x2+y2≥2xyx^2+y^2 \ge 2xy

es homogenea de grado 22, porque cada termino tiene grado total 22.

En ese caso, si reemplazas

(x,y)↦(tx,ty),(x,y) \mapsto (tx,ty),

la desigualdad mantiene la misma forma.

Un chequeo rapido de grados

Antes de normalizar, conviene preguntarte:

  • el lado izquierdo y el derecho escalan igual;
  • los denominadores cambian de forma compatible;
  • o estoy mezclando objetos de grados distintos.

Ese chequeo evita uno de los errores mas peligrosos del tema: imponer una condicion que cambia el problema original.

Por que esto ayuda

Si una desigualdad homogenea viene junto con una condicion como

x+y=1x+y = 1

o

xy=1,xy = 1,

puede ser muy natural trabajar ya dentro de esa normalizacion.

Ejemplo 1

Supongamos que quieres estudiar

x2+y2(x+y)2.\frac{x^2+y^2}{(x+y)^2}.

La expresion es homogenea de grado 00, asi que depende mas de la proporcion entre xx e yy que de su tamano. Por eso, imponer

x+y=1x+y=1

es una normalizacion razonable.

Entonces la expresion se vuelve simplemente

x2+y2.x^2+y^2.

Eso ya hace mas visible la desigualdad

x2+y2≥12.x^2+y^2 \ge \frac12.

Una normalizacion clasica

Ejemplo 2

Si x,y>0x,y>0 y xy=1xy=1, estudia

x+1x.x+\frac{1}{x}.

Como xy=1xy=1, puedes escribir

y=1x.y=\frac{1}{x}.

Entonces el problema se convierte en mirar

x+y.x+y.

Y por AM-GM:

x+1x≥2.x+\frac{1}{x} \ge 2.

Aqui la normalizacion no fue inventar una condicion, sino explotar la que ya estaba.

Una desigualdad de tres variables con suma fija

Ejemplo 3

Si x,y,z≥0x,y,z \ge 0 y

x+y+z=1,x+y+z=1,

demuestra que

x2+y2+z2≥13.x^2+y^2+z^2 \ge \frac13.

Usamos la desigualdad

(x+y+z)2≤3(x2+y2+z2).(x+y+z)^2 \le 3(x^2+y^2+z^2).

Como x+y+z=1x+y+z=1, queda

1≤3(x2+y2+z2).1 \le 3(x^2+y^2+z^2).

Entonces:

x2+y2+z2≥13.x^2+y^2+z^2 \ge \frac13.

La condicion x+y+z=1x+y+z=1 concentraba toda la escala del problema.

Homogeneizar una desigualdad

A veces la desigualdad casi es homogenea, pero le falta una pieza. En problemas de competencia, conviene intentar reintroducir la escala correcta con una condicion dada.

Ejemplo 4

Si x+y=sx+y=s, entonces

x2+y2=s2−2xy.x^2+y^2 = s^2 - 2xy.

Eso permite reescribir una expresion en funcion de cantidades del mismo "tamano algebraico", como s2s^2 y xyxy.

Ese paso es una forma de homogeneizacion muy usada en desigualdades simetricas.

Cuando conviene normalizar

Suele convenir cuando aparece algo como:

  • x+y+z=constantex+y+z = \text{constante};
  • xy+yz+zx=constantexy+yz+zx = \text{constante};
  • xyz=constantexyz = \text{constante};
  • o una expresion totalmente homogenea donde fijar una escala no cambia la esencia.

Cuando no conviene

Atencion:

Si la desigualdad no es homogenea, fijar una suma o un producto al azar puede cambiar el problema. Primero revisa si la escala realmente se conserva.

Por ejemplo, en una expresion como

x2+y,x^2+y,

los terminos no tienen el mismo grado. Cambiar escala modifica el equilibrio del problema de una forma que no puedes ignorar.

Conexion con simetria

Homogeneizacion y normalizacion se llevan muy bien con:

  • trabajar con x+yx+y, xyxy;
  • usar polinomios asociados;
  • y reconocer expresiones simetricas.

Por eso esta tecnica aparece tanto junto con Vieta, sustituciones y desigualdades clasicas.

Una regla practica de supervivencia

Antes de normalizar, intenta responder con honestidad:

  1. que cantidad del problema esta fijando la escala;
  2. que se conserva si multiplico todas las variables por el mismo numero;
  3. si la nueva condicion simplifica de verdad la expresion.

Si una normalizacion no simplifica la lectura, probablemente no era la correcta.

Ejercicios

Ejercicio

Nivel 4/5

Explica por que en la expresion

x2+y2(x+y)2\frac{x^2+y^2}{(x+y)^2}

es razonable imponer x+y=1x+y=1.

Ejercicio

Nivel 4/5

Si x,y>0x,y>0 y xy=1xy=1, demuestra que

x+1x≥2.x+\frac{1}{x} \ge 2.

Ejercicio

Nivel 5/5

Si x+y=1x+y=1, demuestra que

x2+y2≥12.x^2+y^2 \ge \frac12.

Ejercicio

Nivel 5/5

Describe una condicion natural para normalizar una desigualdad homogenea en tres variables y explica por que esa condicion no cambia su esencia.

Ejercicio

Nivel 5/5

Si x,y,z≥0x,y,z \ge 0 y x+y+z=1x+y+z=1, demuestra que

x2+y2+z2≥13.x^2+y^2+z^2 \ge \frac13.

Ejercicio

Nivel 5/5

Da un ejemplo de una expresion no homogenea y explica por que imponer una normalizacion arbitraria puede deformar el problema.

Errores que conviene vigilar

  • Normalizar sin respetar la condicion real del problema.
  • Forzar una homogeneizacion que complica mas de lo que aclara.
  • Olvidar que cambiar de escala solo es legitimo en expresiones homogeneas.

Si quieres seguir leyendo

Estos temas encajan bien como siguiente paso natural despues de este tema.

ALGSumas simetricas y polinomio asociado