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Simetria y sustitucion

Cuando una expresion trata igual a varias variables, conviene cambiar de mirada y usar sumas, productos o sustituciones mas naturales.

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Brujula de estudio

Tres maneras utiles de abrir este tema

Una tecnica olimpica para ordenar expresiones simetricas.

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Ruta sugerida

Como conviene estudiar este tema

No hace falta abrir todo. Empieza por la lectura base, usa un recurso principal para mover la idea y deja lo complementario para cuando de verdad te aporte.

Paso 1Base

Empieza por la lectura base

Aqui construyes el mapa del tema: como reconocer la estructura, que tecnica conviene y donde suelen aparecer los errores.

Paso 2Practica

Practica una tecnica cada vez

En esta parte ya no conviene seguir leyendo sin actuar: intenta ejercicios con pistas y comprueba si el metodo realmente te sale.

Antes de abrir este tema

Si alguno de estos temas te falta, te conviene repasarlo primero para que la lectura fluya mejor.

ALGRelaciones entre raices y coeficientesALGProductos notables

Lectura principal

Teoria y desarrollo

Recorrido sugerido

Si te pierdes, usa este mapa

No hace falta leer todo de un tiron. Puedes avanzar por bloques: entender la idea, fijar algunas reglas, comprobar si las distingues bien y luego practicar.

1Lectura

Idea central

2Lectura

Como reconocer una expresion simetrica

3Lectura

El diccionario minimo

4Lectura

Ir un poco mas lejos

5Lectura

Sustituciones que reducen grado

6Lectura

Cuando una sustitucion si vale la pena

7Lectura

Cuando no conviene

8Lectura

Lo que conecta con Vieta

9Lectura

Un reflejo muy olimpico

10Lectura

Una aplicacion tipica

11Practica

Ejercicios

Idea central

En muchos problemas, la expresion no cambia si intercambias xx e yy. Esa simetria sugiere que trabajar con

s=x+y,p=xys = x+y, \qquad p = xy

es mas natural que trabajar con xx e yy por separado.

La gran idea es esta: si el problema trata igual a las variables, tu solucion tambien deberia intentar tratarlas juntas.

Como reconocer una expresion simetrica

Una expresion es simetrica en xx e yy si no cambia al intercambiar xx por yy.

Por ejemplo:

x2+y2,x3+y3,x2y+xy2x^2+y^2, \qquad x^3+y^3, \qquad x^2y+xy^2

si son simetricas.

En cambio,

x−yx-y

no lo es.

Tip:

Si una expresion es simetrica, casi siempre vale la pena preguntar si puede reescribirse en funcion de x+yx+y y xyxy.

El diccionario minimo

Estas identidades conviene tenerlas muy a mano:

x2+y2=(x+y)2−2xyx^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy x3+y3=(x+y)3−3xy(x+y)x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) x2y+xy2=xy(x+y)x^2y+xy^2 = xy(x+y)

Con ellas puedes convertir muchas expresiones simetricas a lenguaje de ss y pp.

Ejemplo 1

Reescribe

x2+y2x^2 + y^2

en funcion de x+yx+y y xyxy.

Usamos:

(x+y)2=x2+2xy+y2,(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2,

de modo que

x2+y2=(x+y)2−2xy.x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy.

Ejemplo 2

Si

x+y=5yxy=6,x+y=5 \qquad \text{y} \qquad xy=6,

calcula x2+y2x^2+y^2.

Aplicamos la identidad anterior:

x2+y2=(x+y)2−2xy=25−12=13.x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 25 - 12 = 13.

Ir un poco mas lejos

Ejemplo 3

Expresa

x3+y3x^3+y^3

en funcion de x+yx+y y xyxy.

Usamos:

x3+y3=(x+y)3−3xy(x+y).x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y).

Entonces, si llamas s=x+ys=x+y y p=xyp=xy, queda

x3+y3=s3−3ps.x^3+y^3 = s^3 - 3ps.

Ejemplo 4

Expresa

x2y+xy2x^2y+xy^2

en funcion de x+yx+y y xyxy.

Sacamos factor comun:

x2y+xy2=xy(x+y).x^2y+xy^2 = xy(x+y).

En lenguaje de ss y pp, eso es simplemente

ps.ps.

Sustituciones que reducen grado

No toda sustitucion es con suma y producto. A veces una expresion sugiere otra variable mas natural.

Ejemplo 5

En la expresion

x4−6x2+5,x^4 - 6x^2 + 5,

conviene poner

t=x2.t = x^2.

Entonces queda

t2−6t+5,t^2 - 6t + 5,

que ya es una cuadratica factorizable.

Ejemplo 6

En

x2+1x2,x^2+\frac{1}{x^2},

si x≠0x \neq 0, suele convenir empezar por

t=x+1x.t = x+\frac{1}{x}.

Porque entonces:

t2=x2+2+1x2,t^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2},

y de ahi:

x2+1x2=t2−2.x^2+\frac{1}{x^2} = t^2-2.

La sustitucion correcta no siempre es la mas obvia a primera vista.

Cuando una sustitucion si vale la pena

Una buena sustitucion hace al menos una de estas cosas:

  • baja el grado;
  • reduce el numero de variables;
  • convierte una expresion simetrica en otra mas compacta;
  • o revela una identidad conocida.

Cuando no conviene

Atencion:

No metas una sustitucion solo porque existe. Si la nueva variable no simplifica la estructura, puedes terminar con mas simbolos y menos claridad.

Lo que conecta con Vieta

Cuando xx e yy son raices de una ecuacion cuadratica, trabajar con x+yx+y y xyxy no es casualidad: esas cantidades ya estan ligadas a los coeficientes por Vieta.

Por eso esta tecnica aparece tanto en algebra olimpica:

  • en sistemas simetricos;
  • en problemas con raices;
  • en desigualdades;
  • y en polinomios asociados.

Un reflejo muy olimpico

Si el problema te da:

x+yyxy,x+y \quad \text{y} \quad xy,

entonces normalmente no deberias intentar encontrar xx e yy primero. Antes prueba si la expresion pedida ya puede escribirse con esas dos cantidades.

Ese cambio de reflejo ahorra mucho calculo innecesario.

Una aplicacion tipica

Ejemplo 7

Si

x+y=5yxy=6,x+y=5 \qquad \text{y} \qquad xy=6,

calcula

x4+y4.x^4+y^4.

Primero hallamos

x2+y2=(x+y)2−2xy=25−12=13.x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy = 25-12=13.

Luego:

x4+y4=(x2+y2)2−2x2y2.x^4+y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2.

Como

x2y2=(xy)2=36,x^2y^2=(xy)^2=36,

obtenemos:

x4+y4=132−2⋅36=169−72=97.x^4+y^4 = 13^2 - 2\cdot 36 = 169-72=97.

Aqui nunca hizo falta encontrar xx e yy por separado.

Ejercicios

Ejercicio

Nivel 2/5

Reescribe

x2+y2x^2+y^2

en funcion de x+yx+y y xyxy.

Ejercicio

Nivel 3/5

Si x+y=4x+y=4 y xy=1xy=1, calcula

x2+y2.x^2+y^2.

Ejercicio

Nivel 3/5

Si x+y=3x+y=3 y xy=−2xy=-2, calcula

x3+y3.x^3+y^3.

Ejercicio

Nivel 3/5

Expresa

x2y+xy2x^2y+xy^2

en funcion de x+yx+y y xyxy.

Ejercicio

Nivel 4/5

Factoriza usando una sustitucion natural:

x4−5x2+4.x^4 - 5x^2 + 4.

Ejercicio

Nivel 4/5

Si x≠0x \neq 0, reescribe

x2+1x2x^2+\frac{1}{x^2}

en funcion de

x+1x.x+\frac{1}{x}.

Ejercicio

Nivel 4/5

Si x+y=5x+y=5 y xy=6xy=6, calcula

x4+y4.x^4+y^4.

Errores que conviene vigilar

  • Expandir demasiado pronto una expresion simetrica.
  • No identificar que $x+y$ y $xy$ son las cantidades naturales del problema.
  • Introducir una sustitucion que complica en vez de simplificar.

Si quieres seguir leyendo

Estos temas encajan bien como siguiente paso natural despues de este tema.

ALGDesigualdades algebraicas basicasALGSumas simetricas y polinomio asociadoALGInecuaciones y analisis de signo