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Sumas simetricas y polinomio asociado

Como pasar de cantidades simetricas a un polinomio cuyas raices son las variables del problema.

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Tres maneras utiles de abrir este tema

Una pieza muy poderosa para ordenar algebra simetrica.

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Ruta sugerida

Como conviene estudiar este tema

No hace falta abrir todo. Empieza por la lectura base, usa un recurso principal para mover la idea y deja lo complementario para cuando de verdad te aporte.

Paso 1Base

Empieza por la lectura base

Aqui construyes el mapa del tema: como reconocer la estructura, que tecnica conviene y donde suelen aparecer los errores.

Paso 2Practica

Practica una tecnica cada vez

En esta parte ya no conviene seguir leyendo sin actuar: intenta ejercicios con pistas y comprueba si el metodo realmente te sale.

Antes de abrir este tema

Si alguno de estos temas te falta, te conviene repasarlo primero para que la lectura fluya mejor.

ALGRelaciones entre raices y coeficientesALGSimetria y sustitucionALGPolinomios y teorema del factor

Lectura principal

Teoria y desarrollo

Recorrido sugerido

Si te pierdes, usa este mapa

No hace falta leer todo de un tiron. Puedes avanzar por bloques: entender la idea, fijar algunas reglas, comprobar si las distingues bien y luego practicar.

1Lectura

Idea central

2Lectura

El diccionario minimo

3Lectura

Por que esto es util

4Lectura

El ejemplo mas directo

5Lectura

Identidades que salen de inmediato

6Lectura

Como extraer informacion sin encontrar las variables

7Lectura

Conexion con Vieta

8Lectura

Ejemplo con lectura estructural

9Lectura

Un ejemplo con raices repetidas

10Lectura

Cuando conviene pensar asi

11Lectura

Como usarla sin ahogarte en algebra

12Lectura

Una advertencia sana

13Practica

Ejercicios

Idea central

Si un problema habla de tres numeros x,y,zx,y,z pero en realidad solo aparecen expresiones simetricas como

x+y+z,xy+yz+zx,xyz,x+y+z,\quad xy+yz+zx,\quad xyz,

entonces casi siempre conviene pensar que x,y,zx,y,z son raices de un mismo polinomio.

Ese polinomio es

t3−(x+y+z)t2+(xy+yz+zx)t−xyz.t^3 - (x+y+z)t^2 + (xy+yz+zx)t - xyz.

El diccionario minimo

Es muy util nombrar estas cantidades:

σ1=x+y+z,σ2=xy+yz+zx,σ3=xyz.\sigma_1 = x+y+z,\qquad \sigma_2 = xy+yz+zx,\qquad \sigma_3 = xyz.

Entonces el polinomio asociado se escribe como

t3−σ1t2+σ2t−σ3.t^3-\sigma_1 t^2+\sigma_2 t-\sigma_3.

Ponerles nombre ayuda a no perderse entre muchas cuentas y deja clara la simetria del problema.

Por que esto es util

En vez de manipular tres variables sueltas, trabajas con una sola estructura:

  • suma de raices;
  • suma de productos dobles;
  • producto total.

Es una forma muy ordenada de convertir simetria en algebra concreta.

El ejemplo mas directo

Ejemplo 1

Si

x+y+z=6,xy+yz+zx=11,xyz=6,x+y+z = 6, \qquad xy+yz+zx = 11, \qquad xyz = 6,

construye un polinomio cuyas raices sean x,y,zx,y,z.

Aplicamos la forma general:

P(t)=t3−6t2+11t−6.P(t)=t^3-6t^2+11t-6.

Si quieres reconocer las raices, factorizas:

t3−6t2+11t−6=(t−1)(t−2)(t−3).t^3-6t^2+11t-6=(t-1)(t-2)(t-3).

Por tanto, {x,y,z}={1,2,3}\{x,y,z\}=\{1,2,3\}.

Identidades que salen de inmediato

Una vez conoces σ1,σ2,σ3\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3, puedes recuperar muchas otras cantidades:

x2+y2+z2=σ12−2σ2,x^2+y^2+z^2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2,

y tambien

x3+y3+z3=σ13−3σ1σ2+3σ3.x^3+y^3+z^3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2 + 3\sigma_3.

La primera identidad sale al expandir (x+y+z)2(x+y+z)^2. La segunda es una version muy util de

x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx).x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx).

Como extraer informacion sin encontrar las variables

Muchas veces no necesitas conocer x,y,zx,y,z por separado.

Ejemplo 2

Si

x+y+z=syxy+yz+zx=p,x+y+z = s \qquad \text{y} \qquad xy+yz+zx = p,

entonces

x2+y2+z2=s2−2p.x^2+y^2+z^2 = s^2 - 2p.

Ese tipo de identidad ya permite resolver muchisimos problemas sin hallar cada valor.

Ejemplo 3

Si

x+y+z=6,xy+yz+zx=11,xyz=6,x+y+z=6,\qquad xy+yz+zx=11,\qquad xyz=6,

calcula

x2+y2+z2yx3+y3+z3.x^2+y^2+z^2 \qquad \text{y} \qquad x^3+y^3+z^3.

Primero:

x2+y2+z2=62−2⋅11=36−22=14.x^2+y^2+z^2 = 6^2 - 2\cdot 11 = 36-22=14.

Luego:

x3+y3+z3=63−3⋅6⋅11+3⋅6.x^3+y^3+z^3 = 6^3 - 3\cdot 6 \cdot 11 + 3\cdot 6.

Es decir,

x3+y3+z3=216−198+18=36.x^3+y^3+z^3 = 216-198+18=36.

No hizo falta encontrar x,y,zx,y,z por separado para obtener estas cantidades.

Conexion con Vieta

Esto no es mas que Vieta visto al reves.

Normalmente, desde una ecuacion obtienes suma y producto de raices. Aqui haces lo contrario: desde las sumas simetricas construyes una ecuacion que las variables deben satisfacer.

Ejemplo con lectura estructural

Ejemplo 4

Si x,y,zx,y,z son reales y

x+y+z=3,xy+yz+zx=3,xyz=1,x+y+z=3,\qquad xy+yz+zx=3,\qquad xyz=1,

entonces el polinomio asociado es

t3−3t2+3t−1.t^3-3t^2+3t-1.

Pero

t3−3t2+3t−1=(t−1)3.t^3-3t^2+3t-1=(t-1)^3.

Por tanto:

x=y=z=1.x=y=z=1.

Aqui la estructura simetrica revela mucho mas rapido la respuesta que cualquier intento de resolver "a mano" un sistema.

Un ejemplo con raices repetidas

Ejemplo 5

Si

x+y+z=4,xy+yz+zx=5,xyz=2,x+y+z=4,\qquad xy+yz+zx=5,\qquad xyz=2,

el polinomio asociado es

t3−4t2+5t−2.t^3-4t^2+5t-2.

Probamos t=1t=1:

1−4+5−2=0.1-4+5-2=0.

Entonces (t−1)(t-1) es factor. Dividiendo:

t3−4t2+5t−2=(t−1)(t2−3t+2).t^3-4t^2+5t-2 = (t-1)(t^2-3t+2).

Y luego:

t2−3t+2=(t−1)(t−2).t^2-3t+2=(t-1)(t-2).

Por tanto:

t3−4t2+5t−2=(t−1)2(t−2).t^3-4t^2+5t-2=(t-1)^2(t-2).

Eso significa que los valores son

{x,y,z}={1,1,2}.\{x,y,z\}=\{1,1,2\}.

Las variables no tienen por que ser distintas. El polinomio tambien captura multiplicidades.

Cuando conviene pensar asi

Esta tecnica suele entrar cuando:

  • el problema es totalmente simetrico;
  • aparecen x+y+zx+y+z, xy+yz+zxxy+yz+zx, xyzxyz;
  • o quieres reducir tres variables a una ecuacion auxiliar.

Como usarla sin ahogarte en algebra

Un esquema bastante sano suele ser:

  1. identificar σ1,σ2,σ3\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3;
  2. decidir si realmente necesitas el polinomio completo;
  3. usar primero identidades derivadas como x2+y2+z2x^2+y^2+z^2;
  4. construir el polinomio solo si hace falta recuperar valores concretos o estudiar casos.

Eso evita convertir la tecnica en una receta pesada.

Una advertencia sana

Atencion:

Construir el polinomio asociado no siempre significa que debas factorizarlo por completo. A veces basta con usarlo para leer relaciones o descartar casos.

Ejercicios

Ejercicio

Nivel 4/5

Construye el polinomio asociado a tres numeros cuya suma es 55, cuya suma de productos dobles es 66 y cuyo producto es 00.

Ejercicio

Nivel 4/5

Si x+y+z=4x+y+z=4 y xy+yz+zx=5xy+yz+zx=5, calcula

x2+y2+z2.x^2+y^2+z^2.

Ejercicio

Nivel 5/5

Si

x+y+z=6,xy+yz+zx=11,xyz=6,x+y+z=6,\quad xy+yz+zx=11,\quad xyz=6,

determina los posibles valores de x,y,zx,y,z.

Ejercicio

Nivel 5/5

Explica por que el polinomio asociado es una forma natural de estudiar problemas simetricos y no solo una receta de calculo.

Ejercicio

Nivel 5/5

Si

x+y+z=4,xy+yz+zx=5,xyz=2,x+y+z=4,\qquad xy+yz+zx=5,\qquad xyz=2,

calcula

x2+y2+z2x^2+y^2+z^2

y construye el polinomio asociado.

Ejercicio

Nivel 5/5

Supongamos que x,y,zx,y,z son las raices de

t3−7t2+16t−12.t^3-7t^2+16t-12.

sin resolver completamente, calcula

x+y+z,xy+yz+zx,xyz.x+y+z,\qquad xy+yz+zx,\qquad xyz.

Luego usa eso para hallar

x2+y2+z2.x^2+y^2+z^2.

Errores que conviene vigilar

  • Confundir las variables originales con la variable auxiliar del polinomio.
  • Usar mal los signos al construir el polinomio asociado.
  • Expandir todo cuando ya basta con trabajar con las sumas simetricas.

Si quieres seguir leyendo

Estos temas encajan bien como siguiente paso natural despues de este tema.

ALGHomogeneizacion y normalizacion