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Puede contener errores teóricos, ejemplos incompletos o explicaciones que todavía estamos puliendo. Úsala como referencia inicial, pero verifica los resultados importantes con tu profesor o con fuentes adicionales.

1. Lineas notables del triangulo2. Baricentro

Lineas notables

Baricentro

El punto donde se cruzan las tres medianas divide cada una en razon 2:1. Es el centro de masa del triangulo y el puente natural hacia areas y puntos medios.

Familia

Medianas

Propiedades

Demostraciones

Como mirar este nodo

Antes de buscar coordenadas, pregunta si el problema te esta pidiendo comparar areas o segmentos. El baricentro suele ser util cuando la razon 2:1 aparece escondida.

Figura base

Diagrama para leer antes que calcular

Por ahora este primer bloque entra con diagramas propios y navegacion viva. La siguiente capa natural sera volverlo manipulable.

medianasbaricentrorazon 2:1

Que conviene notar

$G$ divide cada mediana en razon $AG:GMa = 2:1$ , donde $Ma$ es el punto medio de $BC$ .
Los seis triangulos pequenos que forman las tres medianas tienen todos la misma area.
Las coordenadas de $G$ son el promedio de las coordenadas de los tres vertices.
$G$ siempre esta dentro del triangulo, sin excepcion.

Lectura central

Que esta pasando en esta configuracion

La idea no es coleccionar nombres. Lo importante es entender que tipo de fuerza geometrica aparece cuando esta figura entra al problema.

El baricentro $G$ es la interseccion de las tres medianas de un triangulo. Cada mediana va de un vertice al punto medio del lado opuesto, y $G$ las corta a todas en la misma razon: $2$ por el lado del vertice y $1$ por el lado del punto medio.

Desde la fisica es el centro de masa de un triangulo de densidad uniforme. Desde la geometria olimpica es la herramienta para manejar areas iguales, puntos medios y figuras que se parten en partes proporcionales.

Propiedades

Hechos que conviene tener listos

Estas son las lecturas que deberian encenderse apenas reconoces la configuracion.

Razon 2:1 en cada mediana

Si $Ma$ , $Mb$ , $Mc$ son los puntos medios de $BC$ , $AC$ y $AB$ , entonces $AG = 2 \cdot GMa$ , $BG = 2 \cdot GMb$ y $CG = 2 \cdot GMc$ . El baricentro esta siempre mas cerca del lado que del vertice.

Seis areas iguales

Las tres medianas dividen el triangulo en seis triangulos pequenos de area identica, cada uno igual a un sexto del area total. Esta propiedad es la forma mas rapida de verificar que un punto es el baricentro.

Siempre interior

A diferencia del ortocentro y el circuncentro, el baricentro siempre queda estrictamente dentro del triangulo, sin importar si es acutangulo, rectangulo u obtusangulo.

Centro de masa

Si colocas masas iguales en los tres vertices, el punto de equilibrio es exactamente $G$ . Esta lectura fisica es util en problemas de pesos y balanzas que se disfrazan de geometria.

Demostraciones

Por que estas propiedades son razonables

Cada prueba esta pensada como escalera corta: primero el gesto visual, luego la cadena de ideas.

Demostracion guiada

Las tres medianas se cortan en razon 2:1

Mostrar que la interseccion de dos medianas divide a cada una en la razon correcta, y que la tercera pasa por el mismo punto.

1Sean $Ma$ y $Mb$ los puntos medios de $BC$ y $AC$ . Traza las medianas $AMa$ y $BMb$ e llama $G$ a su interseccion.
2El segmento $MaMb$ es la base media del triangulo $ABC$ relativa al lado $AB$ . Por el teorema de la base media, $MaMb \parallel AB$ y $MaMb = AB/2$ .
3Entonces los triangulos $GMaMb$ y $GAB$ son semejantes con razon $1:2$ .
4De esa semejanza se obtiene $AG = 2 \cdot GMa$ y $BG = 2 \cdot GMb$ : cada mediana queda cortada en razon $2:1$ .
5Por un argumento identico con la tercera mediana, su interseccion con $AMa$ tambien esta en la razon $2:1$ . El punto es el mismo $G$ , luego las tres concurren.

Demostracion guiada

Los seis triangulos tienen la misma area

Verificar que las medianas dividen el triangulo en seis partes iguales.

1La mediana $AMa$ divide el triangulo $ABC$ en dos triangulos: $ABMa$ y $ACMa$ . Como $Ma$ es punto medio de $BC$ , los dos triangulos tienen la misma base y la misma altura, luego areas iguales.
2Cada uno de esos dos triangulos queda dividido por la segunda mediana en dos partes. La razon $2:1$ garantiza que esas partes tambien son iguales.
3Aplicando el mismo argumento a la tercera mediana, los seis triangulos tienen area $S/6$ , donde $S$ es el area total.

Ejemplos

Como empieza a usarse en problemas

No son ejercicios largos. Son escenas cortas para que la configuracion empiece a sentirse util y no solo bonita.

Ejemplo guiado

Encontrar G usando la razon 2:1

En un triangulo $ABC$ , la mediana desde $A$ mide $12$ cm. A que distancia de $A$ esta el baricentro?

1. El baricentro divide la mediana en razon

2:1

desde el vertice.

2. La parte desde

A

hasta

G

mide

\frac{2}{3}

de la mediana total.

3. Entonces

AG = \frac{2}{3} \times 12 = 8

cm.

Lo que conviene guardarse

Cuando el problema da la longitud de una mediana y pide la distancia al baricentro, la razon 2:1 resuelve todo en una linea.

Ejemplo guiado

Verificar que un punto es el baricentro por areas

Un punto $P$ interior a un triangulo $ABC$ divide la figura en tres triangulos con areas $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ . Si $S_1 = S_2 = S_3$ , que puedes concluir sobre $P$ ?

1. Si las tres areas son iguales, cada una vale

S/3

donde

S

es el area total.

2. La unica propiedad que garantiza que un punto interior divide el triangulo en tres areas iguales es ser el baricentro.

3. Por lo tanto

P = G

Lo que conviene guardarse

Las areas iguales son la firma del baricentro. Si el problema te da tres areas identicas, el punto del que habla es G.

Ramas

Por donde se sigue desde aqui

La idea del atlas es esta: cada nodo te deja mejor parado para abrir el siguiente, no para volver a empezar desde cero.

Ramas disponibles

Recta de Euler

El baricentro, el ortocentro y el circuncentro son colineales. G divide HO en razon 2:1.

Lo que sigue despues

Teorema de Apolonio para medianas

La longitud de cada mediana se puede expresar en terminos de los tres lados del triangulo.

Mismo racimo

Lineas notables del triangulo

Una forma ordenada de entrar a centros y configuraciones geometricas sin mirar el triangulo como si siempre empezara desde cero.

Ortocentro

El punto donde las alturas se encuentran no cierra el dibujo: lo abre. Desde ahi aparecen angulos, cuadrilateros ciclicos y el triangulo ortico.

Circuncentro

El punto donde las mediatrices se cruzan es equidistante de los tres vertices. Ese radio comun es el radio de la circunferencia circunscrita.

Recta de Euler

El ortocentro $H$ , el baricentro $G$ y el circuncentro $O$ son siempre colineales. El baricentro divide el segmento $HO$ en razon $2:1$ desde $H$ .

Temas de apoyo en la biblioteca

Geometria

GEO

Angulos y triangulos

Fundamentos geometricos antes de semejanza y circunferencias.

Semejanza de triángulos

Domina los criterios de semejanza y úsalos para calcular longitudes y áreas.

GeoGebra

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