GEO

Configuraciones geometricas

Aqui vamos reuniendo las figuras que mas se repiten en geometria olimpica, junto con las propiedades que conviene tener listas apenas aparecen en el dibujo.

En esta sala

Configuraciones reunidas8

Familias abiertas4

Temas enlazados4

Primero mira la figura

Busca si el dibujo ya te esta regalando paralelas, puntos medios, tangencias o cuatro puntos ciclicos.

Luego anota lo obligado

Las propiedades fuertes suelen aparecer antes que las cuentas: angulos iguales, productos, razones o lados emparejados.

Recien despues elige tecnica

Semejanza, Ceva, Menelao o potencia funcionan mucho mejor cuando la configuracion ya quedo nombrada.

Experimentos de interfaz

Prototipos interactivos

Plano de fondo, figura draggable, panel de teoria flotante y banco de problemas olimpicos. Arrastra los vertices y los valores se actualizan en vivo.

Prototipo interactivo

Ortocentro

El punto donde las alturas se encuentran no cierra el dibujo: lo abre. Desde ahi aparecen angulos, cuadrilateros ciclicos y el triangulo ortico.

Alturas

Abrir prototipo

Prototipo interactivo

Circuncentro

El punto donde las mediatrices se cruzan es equidistante de los tres vertices. Ese radio comun es el radio de la circunferencia circunscrita.

Mediatrices

Abrir prototipo

Atlas de configuraciones

Todos los nodos del atlas

Cada nodo tiene figura, propiedades, demostraciones y ejemplos olimpicos. Los que tienen prototipo incluyen una escena draggable.

Puerta de entrada

Lineas notables del triangulo

Una forma ordenada de entrar a centros y configuraciones geometricas sin mirar el triangulo como si siempre empezara desde cero.

Abrir nodo →

Alturas

prototipo

Ortocentro

El punto donde las alturas se encuentran no cierra el dibujo: lo abre. Desde ahi aparecen angulos, cuadrilateros ciclicos y el triangulo ortico.

Abrir nodo →

Consecuencia visible

Triangulo ortico

Al unir los pies de las alturas aparece una figura nueva que concentra el comportamiento angular del triangulo original y deja listas varias ramas ciclicas.

Abrir nodo →

Simetria y circuncirculo

Reflejos del ortocentro

Al reflejar $H$ sobre cualquiera de los tres lados del triangulo, el punto resultante cae exactamente sobre la circunferencia circunscrita. Una simetria que conecta alturas y circuncentro.

Abrir nodo →

Medianas

Baricentro

El punto donde se cruzan las tres medianas divide cada una en razon 2:1. Es el centro de masa del triangulo y el puente natural hacia areas y puntos medios.

Abrir nodo →

Mediatrices

prototipo

Circuncentro

El punto donde las mediatrices se cruzan es equidistante de los tres vertices. Ese radio comun es el radio de la circunferencia circunscrita.

Abrir nodo →

Bisectrices

Incentro

El punto donde las bisectrices de los angulos se cortan es equidistante de los tres lados. Esa distancia comun es el radio del circulo inscrito.

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Colinealidad clasica

Recta de Euler

El ortocentro $H$, el baricentro $G$ y el circuncentro $O$ son siempre colineales. El baricentro divide el segmento $HO$ en razon $2:1$ desde $H$.

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Angulos y arcos

Cuadrilatero ciclico

Cuatro puntos sobre una misma circunferencia conectan angulos opuestos, igualan angulos inscritos que miran la misma cuerda y abren la puerta a potencia de un punto.

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Primer recorrido vivo

Triangulos, lineas notables y ortocentro

Esta es la primera rama construida como atlas y no solo como lista: cada nodo explica la figura, deja propiedades, abre demostraciones y empuja al siguiente.

Paso 1

Lineas notables del triangulo

Una forma ordenada de entrar a centros y configuraciones geometricas sin mirar el triangulo como si siempre empezara desde cero.

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Paso 2

Ortocentro

El punto donde las alturas se encuentran no cierra el dibujo: lo abre. Desde ahi aparecen angulos, cuadrilateros ciclicos y el triangulo ortico.

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Paso 3

Triangulo ortico

Al unir los pies de las alturas aparece una figura nueva que concentra el comportamiento angular del triangulo original y deja listas varias ramas ciclicas.

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Angulos y estructuras base

Configuraciones donde perseguir angulos, rectos e isosceles abre casi todo el resto del dibujo.

Configuracion clasica

Isosceles y angulos espejo

3 propiedades

Cuando dos lados se igualan o aparece un punto medio en un triangulo, la figura suele empezar a reflejar angulos.

Suele ser la forma mas rapida de fabricar angulos iguales antes de buscar semejanza o congruencia.

Suele avisar con

dos lados igualespunto mediobase comunbisectriz visible

Propiedades para tener listas

Si dos lados son iguales, los angulos opuestos a esos lados tambien se igualan.
La bisectriz del vertice en un isosceles puede actuar tambien como mediana y como altura.
Los triangulos apoyados en la misma base muchas veces terminan siendo semejantes o congruentes.

Angulos y triangulos Semejanza de triángulos

Configuracion clasica

Triangulo rectangulo con altura a la hipotenusa

3 propiedades

La altura a la hipotenusa parte un triangulo rectangulo en dos copias semejantes del original.

Aparece mucho en problemas de longitudes, areas y medias geometricas escondidas.

Suele avisar con

angulo rectoaltura a la hipotenusaproyeccionescuadrados de catetos

Propiedades para tener listas

Los dos triangulos pequenos son semejantes al grande y tambien entre si.
Si la hipotenusa queda partida en segmentos m y n, entonces la altura cumple h^2 = mn.
Cada cateto al cuadrado se lee como hipotenusa por la proyeccion correspondiente.

Angulos y triangulos Semejanza de triángulos

Razones, paralelas y cevianas

Lecturas para cuando la figura pide comparar segmentos y no basta con seguir angulos.

Configuracion clasica

Paralelas y segmentos proporcionales

3 propiedades

Una recta paralela dentro de un triangulo suele regalar semejanza inmediata y razones bastante limpias.

Es una entrada muy amable a problemas de Tales, areas y comparacion de segmentos.

Suele avisar con

rectas paralelassegmentos partidostrapecio escondidorazones sobre un lado

Propiedades para tener listas

Los angulos correspondientes igualan y disparan semejanza casi de inmediato.
Los segmentos en lados homologos quedan en la misma razon.
En problemas de areas, la razon lineal suele convertirse luego en razon cuadratica.

Semejanza de triángulos Ceva y Menelao

Configuracion clasica

Cevianas concurrentes y colinealidad

3 propiedades

Tres cevianas en un mismo triangulo suelen esconder una relacion multiplicativa que decide concurrencia.

Sirve cuando el dibujo parece demasiado cargado para perseguir solo angulos.

Suele avisar con

tres cevianaspuntos en los ladosconcurrenciacolinealidad cercana

Propiedades para tener listas

Ceva traduce concurrencia en un producto de razones igual a 1.
Menelao hace una lectura paralela para colinealidad si aparece una transversal.
Muchas veces la semejanza entrega las razones antes de aplicar el teorema fuerte.

Ceva y Menelao Semejanza de triángulos

Circunferencias y potencia

La familia clasica de cuerdas, tangentes, secantes y productos que parecen salir de la nada.

Configuracion clasica

Cuadrilatero ciclico

3 propiedades

Cuatro puntos sobre una misma circunferencia convierten angulos en arcos y relacionan pares opuestos.

Es una de las configuraciones que mas reaparece porque ordena angulos, potencia y semejanza al mismo tiempo.

Suele avisar con

cuatro puntos en una circunferenciaopuestos suplementariosmisma cuerdaarcos repetidos

Propiedades para tener listas

Los angulos opuestos suman 180 grados.
Angulos que subtienen la misma cuerda son iguales.
Una igualdad de angulos tambien puede servir para demostrar que cuatro puntos son ciclicos.

Angulos y triangulos Potencia de un punto Ver en el atlas →

Configuracion clasica

Tangente, cuerda y potencia

3 propiedades

Una tangente tocando la circunferencia suele conectarse con una cuerda o una secante mediante angulos y productos.

Es la configuracion que hace pasar de una figura curva a una igualdad algebraica muy concreta.

Suele avisar con

tangentepunto exteriorsecantecuerda

Propiedades para tener listas

El angulo entre tangente y cuerda es igual al angulo inscrito que mira la misma cuerda.
Si desde un punto exterior salen tangente y secante, entonces PT^2 = PA * PB.
Muchas pruebas de potencia empiezan fabricando semejanza a partir del angulo de tangencia.

Potencia de un punto Semejanza de triángulos

Cuadrilateros especiales

Figuras que condensan simetrias, paralelismo y relaciones largas dentro de un solo marco.

Configuracion clasica

Paralelogramo oculto y puntos medios

3 propiedades

Cuando aparecen puntos medios, segmentos paralelos o diagonales que se parten, el paralelogramo suele estar a un paso.

Reconocerlo permite reciclar lados iguales, diagonales que se bisecan y familias de triangulos congruentes.

Suele avisar con

puntos mediossegmentos paralelosdiagonales que se cruzanlados opuestos iguales

Propiedades para tener listas

En un paralelogramo los lados opuestos son paralelos e iguales.
Las diagonales se bisecan.
Con puntos medios de un cuadrilatero aparecen paralelogramos nuevos casi sin avisar.

Angulos y triangulos Semejanza de triángulos

Configuracion clasica

Cuadrilatero tangencial

3 propiedades

Si una circunferencia toca los cuatro lados de un cuadrilatero, las longitudes desde un mismo vertice empiezan a emparejarse.

Es muy util cuando el problema mezcla lados, perimetros parciales e incircunferencias.

Suele avisar con

incircunferenciatangencias en los ladossumas opuestaspuntos de contacto

Propiedades para tener listas

Los segmentos tangentes trazados desde un mismo vertice son iguales.
La suma de dos lados opuestos coincide con la de los otros dos.
Conviene marcar primero las igualdades de tangencia antes de escribir ecuaciones largas.

Potencia de un punto Angulos y triangulos

Temas que sostienen esta sala

Base buena para leer mejor estas figuras

Estas lecturas ya existen en la biblioteca y sirven como apoyo natural para seguir ampliando la seccion.

Geometria

GEO

Angulos y triangulos

Fundamentos geometricos antes de semejanza y circunferencias.

Semejanza de triángulos

Domina los criterios de semejanza y úsalos para calcular longitudes y áreas.

Ceva y Menelao

Herramientas clasicas para controlar razones en triangulos.

Potencia de un punto

Una igualdad poderosa para secantes, tangentes y cuerdas.

Teoria

Intermedio2 min

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Siguiente paso natural

De la configuracion al problema completo

La idea aqui no es memorizar listas sueltas. Lo valioso es aprender a reconocer cuando una figura obliga una propiedad y usar esa pista para decidir si conviene perseguir angulos, razones o una circunferencia extra.

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Seleccion opcional3 temas

GeometriaTeoria

Fundamentos de geometria olimpica

Ruta para pasar de angulos basicos a herramientas clasicas de geometria olimpica.

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