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Puede contener errores teóricos, ejemplos incompletos o explicaciones que todavía estamos puliendo. Úsala como referencia inicial, pero verifica los resultados importantes con tu profesor o con fuentes adicionales.

1. Lineas notables del triangulo2. Ortocentro

Lineas notables

Ortocentro

El punto donde las alturas se encuentran no cierra el dibujo: lo abre. Desde ahi aparecen angulos, cuadrilateros ciclicos y el triangulo ortico.

Familia

Alturas

Propiedades

Demostraciones

Como mirar este nodo

Marca los pies de las alturas antes de seguir. Muchas propiedades del ortocentro viven mas en esos pies que en el punto $H$ solo.

Prototipo vivo

Si quieres juzgar la direccion mas visual de esta seccion, aqui hay un experimento aislado: plano de fondo, figura draggable y tarjetas de propiedades al costado.

Abrir prototipo interactivo

Figura base

Diagrama para leer antes que calcular

Por ahora este primer bloque entra con diagramas propios y navegacion viva. La siguiente capa natural sera volverlo manipulable.

alturaspiesortocentro

Que conviene notar

Si $D,E,F$ son los pies de las alturas, entonces $A,E,H,F$ , $B,F,H,D$ y $C,D,H,E$ son cuadrilateros ciclicos.
En el triangulo $BHC$ aparece la identidad $\angle BHC = 180^\circ - \angle A$ .
La posicion de $H$ cambia con el tipo de triangulo: dentro, en el borde o fuera.
Una vez que $D,E,F$ estan dibujados, el siguiente nodo natural es el triangulo ortico.

Lectura central

Que esta pasando en esta configuracion

La idea no es coleccionar nombres. Lo importante es entender que tipo de fuerza geometrica aparece cuando esta figura entra al problema.

El ortocentro es el punto de cruce de las alturas de un triangulo. En un triangulo acutangulo queda dentro, en uno rectangulo cae sobre el vertice recto y en uno obtusangulo aparece fuera.

Pero su valor olimpico no esta solo en ubicarlo. La gracia es que alrededor de $H$ aparecen angulos de la forma $180^\circ - A$ , cuadrilateros ciclicos con dos angulos rectos y, casi de inmediato, el triangulo ortico.

Propiedades

Hechos que conviene tener listos

Estas son las lecturas que deberian encenderse apenas reconoces la configuracion.

Angulos en torno a H

Si $H$ es ortocentro, entonces $\angle BHC = 180^\circ - \angle A$ , y de forma ciclica tambien $\angle CHA = 180^\circ - \angle B$ y $\angle AHB = 180^\circ - \angle C$ .

Tres cuadrilateros ciclicos inmediatos

Con los pies de las alturas $D,E,F$ , los cuadrilateros $A,E,H,F$ , $B,F,H,D$ y $C,D,H,E$ son ciclicos porque en cada uno aparecen dos angulos rectos opuestos.

El tipo de triangulo mueve a H

En un triangulo acutangulo, $H$ es interior. En uno rectangulo coincide con el vertice del angulo recto. En uno obtusangulo cae fuera y obliga a mirar prolongaciones.

Puerta al triangulo ortico

Los pies $D,E,F$ no son decoracion. Al unirlos aparece una figura nueva que concentra mucha de la teoria angular del triangulo original.

Demostraciones

Por que estas propiedades son razonables

Cada prueba esta pensada como escalera corta: primero el gesto visual, luego la cadena de ideas.

Demostracion guiada

Por que $A,E,H,F$ es ciclico

Fabricar un primer cuadrilatero ciclico a partir de las alturas sin usar nada sofisticado.

1Sea $E$ el pie de la altura desde $B$ sobre $AC$ y $F$ el pie de la altura desde $C$ sobre $AB$ .
2Como $BE \perp AC$ , la recta $EH$ tambien es perpendicular a $AE$ . Entonces $\angle AEH = 90^\circ$ .
3Como $CF \perp AB$ , la recta $FH$ es perpendicular a $AF$ . Entonces $\angle AFH = 90^\circ$ .
4En el cuadrilatero $A,E,H,F$ aparecen dos angulos opuestos rectos. La suma vale $180^\circ$ , asi que los cuatro puntos son ciclicos.
5Ese circulo es una de las herramientas mas utiles para perseguir angulos alrededor del ortocentro.

Demostracion guiada

Por que $\angle BHC = 180^\circ - \angle A$

Leer uno de los angulos mas clasicos del ortocentro con una persecucion muy corta.

1En el triangulo $BHC$ , el angulo en $B$ es $\angle HBC = 90^\circ - \angle C$ , porque $BH \perp AC$ .
2De forma simetrica, $\angle HCB = 90^\circ - \angle B$ , porque $CH \perp AB$ .
3Sumando los angulos del triangulo $BHC$ queda $\angle BHC = 180^\circ - (90^\circ - C) - (90^\circ - B) = B + C$ .
4Como en el triangulo original $A + B + C = 180^\circ$ , obtenemos $B + C = 180^\circ - A$ .
5Por tanto $\angle BHC = 180^\circ - \angle A$ , que es justo la forma en que el ortocentro guarda memoria del angulo opuesto.

Ejemplos

Como empieza a usarse en problemas

No son ejercicios largos. Son escenas cortas para que la configuracion empiece a sentirse util y no solo bonita.

Ejemplo guiado

Lectura angular inmediata

En un triangulo acutangulo $ABC$ el ortocentro es $H$ y $\angle A = 47^\circ$ . Cuanto vale $\angle BHC$ ?

1. No hace falta reconstruir toda la figura. El ortocentro ya trae una identidad lista.

2. Usa

\angle BHC = 180^\circ - \angle A

3. Entonces

\angle BHC = 180^\circ - 47^\circ = 133^\circ

Lo que conviene guardarse

Cuando H ya esta nombrado, conviene revisar primero las identidades angulares antes de buscar semejanza.

Ejemplo guiado

Cuando el ortocentro se mueve hacia fuera

Si el triangulo es obtusangulo en $A$ , donde esperas encontrar al ortocentro y que precaucion visual conviene tomar?

1. La altura desde

A

entra al triangulo, pero las otras dos alturas necesitan prolongar lados para ser perpendiculares.

2. Por eso

H

cae fuera del triangulo original.

3. La precaucion sana es no olvidar prolongaciones ni asumir que todos los puntos importantes viven dentro de la figura base.

Lo que conviene guardarse

La posicion de $H$ depende del tipo de triangulo y cambia la lectura completa del dibujo.

Ramas

Por donde se sigue desde aqui

La idea del atlas es esta: cada nodo te deja mejor parado para abrir el siguiente, no para volver a empezar desde cero.

Ramas disponibles

Triangulo ortico

La siguiente rama viva: unir los pies de las alturas para condensar la configuracion en una figura nueva.

Reflejos del ortocentro

Los reflejos de H sobre los lados caen exactamente sobre la circunferencia circunscrita.

Recta de Euler

H, G y O son colineales. G divide HO en razon 2:1 desde el ortocentro.

Lo que sigue despues

Cuadrilateros ciclicos desde las alturas

Despues de cerrar el bloque ortico, vale la pena abrir una rama dedicada solo a esos ciclos rectos.

Mismo racimo

Lineas notables del triangulo

Una forma ordenada de entrar a centros y configuraciones geometricas sin mirar el triangulo como si siempre empezara desde cero.

Triangulo ortico

Al unir los pies de las alturas aparece una figura nueva que concentra el comportamiento angular del triangulo original y deja listas varias ramas ciclicas.

Reflejos del ortocentro

Al reflejar $H$ sobre cualquiera de los tres lados del triangulo, el punto resultante cae exactamente sobre la circunferencia circunscrita. Una simetria que conecta alturas y circuncentro.

Recta de Euler

El ortocentro $H$ , el baricentro $G$ y el circuncentro $O$ son siempre colineales. El baricentro divide el segmento $HO$ en razon $2:1$ desde $H$ .