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AlgebraIntermedioTeoriaProblemas

Relaciones entre raices y coeficientes

Como leer suma y producto de raices directamente desde los coeficientes, y como usar esa informacion en problemas.

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Tres maneras utiles de abrir este tema

La puerta de entrada a Vieta en problemas olimpicos.

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Como conviene estudiar este tema

No hace falta abrir todo. Empieza por la lectura base, usa un recurso principal para mover la idea y deja lo complementario para cuando de verdad te aporte.

Paso 1Base

Empieza por la lectura base

Aqui construyes el mapa del tema: como reconocer la estructura, que tecnica conviene y donde suelen aparecer los errores.

Paso 2Practica

Practica una tecnica cada vez

En esta parte ya no conviene seguir leyendo sin actuar: intenta ejercicios con pistas y comprueba si el metodo realmente te sale.

Antes de abrir este tema

Si alguno de estos temas te falta, te conviene repasarlo primero para que la lectura fluya mejor.

ALGEcuaciones cuadraticas

Lectura principal

Teoria y desarrollo

Recorrido sugerido

Si te pierdes, usa este mapa

No hace falta leer todo de un tiron. Puedes avanzar por bloques: entender la idea, fijar algunas reglas, comprobar si las distingues bien y luego practicar.

1Lectura

Idea central

2Lectura

Antes de usarlo bien

3Lectura

Por que esto es potente

4Lectura

Expresiones derivadas

5Lectura

Construir ecuaciones a partir de relaciones

6Lectura

Modificar las raices sin resolver de nuevo

7Lectura

Condiciones sobre las raices

8Lectura

Transformaciones sobre las raices

9Practica

Ejercicios

Idea central

Muchas veces no necesitas conocer cada raiz por separado. Basta saber como se relacionan con los coeficientes.

Idea clave

Vieta para cuadraticas

Si α\alpha y β\beta son las raices de

ax2+bx+c=0,a≠0,ax^2 + bx + c = 0, \qquad a \neq 0,

entonces

α+β=−ba,αβ=ca.\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \qquad \alpha\beta = \frac{c}{a}.

Antes de usarlo bien

Vieta no se aplica a cualquier expresion que "parece cuadratica". Primero hay que tener la ecuacion en forma estandar:

ax2+bx+c=0.ax^2+bx+c=0.

Si el polinomio no esta igualado a cero o si no esta ordenado, conviene reorganizar antes.

Ejemplo 1

Para la ecuacion

2x2−7x+3=0,2x^2 - 7x + 3 = 0,

si α\alpha y β\beta son sus raices, entonces

α+β=72,αβ=32.\alpha+\beta = \frac{7}{2}, \qquad \alpha\beta = \frac{3}{2}.

No hizo falta resolver la ecuacion.

Por que esto es potente

Te evita resolver la ecuacion cuando el problema solo pregunta por:

  • la suma de las raices;
  • su producto;
  • expresiones simetricas como α2+β2\alpha^2+\beta^2;
  • condiciones como "las raices son positivas" o "las raices difieren en 3".

Expresiones derivadas

Con suma y producto puedes calcular muchas otras cantidades.

Ejemplo 2

Si α\alpha y β\beta son las raices de

x2−7x+10=0,x^2 - 7x + 10 = 0,

halla α2+β2\alpha^2 + \beta^2.

Usamos

α2+β2=(α+β)2−2αβ.\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta.

Por Vieta:

α+β=7,αβ=10.\alpha+\beta = 7, \qquad \alpha\beta = 10.

Entonces:

α2+β2=49−20=29.\alpha^2+\beta^2 = 49 - 20 = 29.

Ejemplo 3

Con la misma ecuacion, halla

1α+1β.\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}.

Siempre que αβ≠0\alpha\beta \neq 0:

1α+1β=α+βαβ.\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}.

Entonces:

1α+1β=710.\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = \frac{7}{10}.

Ejemplo 4

Si quieres hallar

(α−β)2,(\alpha-\beta)^2,

usa:

(α−β)2=(α+β)2−4αβ.(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta.

Con α+β=7\alpha+\beta=7 y αβ=10\alpha\beta=10:

(α−β)2=49−40=9.(\alpha-\beta)^2 = 49 - 40 = 9.

Asi, las raices difieren en 33.

Construir ecuaciones a partir de relaciones

Si conoces suma y producto, puedes reconstruir la ecuacion monica.

Ejemplo 5

Encuentra una ecuacion cuadratica cuyas raices sumen 55 y multipliquen 66.

Si α+β=5\alpha+\beta=5 y αβ=6\alpha\beta=6, entonces la ecuacion monica es

x2−(α+β)x+αβ=0,x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta = 0,

o sea:

x2−5x+6=0.x^2 - 5x + 6 = 0.

Ese patron es importante porque luego se reutiliza en polinomios asociados, simetria y ecuaciones con parametro.

Modificar las raices sin resolver de nuevo

Tambien puedes construir nuevas ecuaciones a partir de transformaciones sobre las raices.

Ejemplo 6

Si α\alpha y β\beta son raices de

x2−5x+6=0,x^2-5x+6=0,

construye una ecuacion cuyas raices sean α+1\alpha+1 y β+1\beta+1.

Primero calculamos:

(α+1)+(β+1)=α+β+2=5+2=7.(\alpha+1)+(\beta+1)=\alpha+\beta+2=5+2=7.

Luego:

(α+1)(β+1)=αβ+α+β+1=6+5+1=12.(\alpha+1)(\beta+1)=\alpha\beta+\alpha+\beta+1=6+5+1=12.

La nueva ecuacion monica es:

x2−7x+12=0.x^2-7x+12=0.

Condiciones sobre las raices

Vieta permite traducir condiciones cualitativas a restricciones sobre los coeficientes.

Ejemplo 7

Supongamos que una cuadratica monica tiene dos raices reales positivas α\alpha y β\beta.

Entonces necesariamente:

α+β>0,αβ>0.\alpha+\beta > 0, \qquad \alpha\beta > 0.

En terminos de la ecuacion

x2−sx+p=0,x^2-sx+p=0,

eso significa:

s>0,p>0,s>0, \qquad p>0,

y ademas hace falta que las raices sean reales, es decir,

s2−4p≥0.s^2-4p \ge 0.

Ese tipo de combinacion entre Vieta y discriminante aparece muchisimo en olimpiadas.

Tip

Cuando el problema pide una expresion simetrica en las raices, piensa en Vieta antes que en la formula general. Normalmente es el camino mas corto y mas limpio.

Transformaciones sobre las raices

Una de las aplicaciones mas finas de Vieta es construir nuevas ecuaciones cuando cambias las raices.

Ejemplo 8

Si α\alpha y β\beta son raices de

x2−5x+6=0,x^2-5x+6=0,

construye una ecuacion cuyas raices sean

1αy1β.\frac{1}{\alpha} \quad \text{y} \quad \frac{1}{\beta}.

Primero calculamos la suma y el producto nuevos:

1α+1β=α+βαβ=56,\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} = \frac{5}{6},

y

1α⋅1β=1αβ=16.\frac{1}{\alpha}\cdot \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha\beta} = \frac{1}{6}.

La ecuacion monica buscada es

x2−56x+16=0.x^2-\frac{5}{6}x+\frac{1}{6}=0.

Si prefieres coeficientes enteros, multiplicas por 66:

6x2−5x+1=0.6x^2-5x+1=0.

Ejercicios

Ejercicio

Nivel 2/5

Si α\alpha y β\beta son raices de

x2+3x−4=0,x^2 + 3x - 4 = 0,

halla α+β\alpha+\beta y αβ\alpha\beta.

Ejercicio

Nivel 3/5

Si α\alpha y β\beta son las raices de

x2−5x+1=0,x^2 - 5x + 1 = 0,

calcula α2+β2\alpha^2+\beta^2.

Ejercicio

Nivel 3/5

Con las mismas raices, calcula

1α+1β.\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}.

Ejercicio

Nivel 4/5

Construye una ecuacion monica cuyas raices sumen −2-2 y multipliquen −15-15.

Ejercicio

Nivel 4/5

Si α\alpha y β\beta son raices de una cuadratica monica y

α+β=4,α2+β2=10,\alpha+\beta = 4, \qquad \alpha^2+\beta^2 = 10,

halla la ecuacion.

Ejercicio

Nivel 5/5

Si una cuadratica monica tiene dos raices reales positivas y su producto es 66, describe que restriccion debe cumplir la suma de las raices.

Ejercicio

Nivel 5/5

Si α\alpha y β\beta son raices de

x2−4x+3=0,x^2-4x+3=0,

construye una ecuacion cuyas raices sean

1αy1β.\frac1\alpha \quad \text{y} \quad \frac1\beta.

Errores que conviene vigilar

  • Cambiar mal los signos al usar Vieta.
  • Olvidar que primero hay que tener coeficiente principal distinto de cero y forma estandar.
  • Querer encontrar las raices una por una cuando solo hace falta su suma o su producto.

Si quieres seguir leyendo

Estos temas encajan bien como siguiente paso natural despues de este tema.

ALGEcuaciones con parametro y discriminanteALGRaices racionales y busqueda de divisoresALGSumas simetricas y polinomio asociadoALGSimetria y sustitucion