Saltar al contenido
AMAlemMath
AlgebraIntermedioTeoriaProblemasTecnicas

Raices racionales y busqueda de divisores

Como acotar y probar candidatos a raiz en polinomios con coeficientes enteros sin lanzarse a adivinar a ciegas.

Empezar lecturaVer ruta sugeridaVer brujulaVer recorridoIr a practica

Brujula de estudio

Tres maneras utiles de abrir este tema

Una tecnica clave para factorizar polinomios de grado mayor.

Entrada~10 min

Ubicate sin abrir todo

Sirve cuando vienes con poco tiempo o solo quieres recordar la idea dominante antes de pasar a otra lectura.

Revisar base minimaIrVer mapa del temaIrAbrir lectura principalIr
Principal~15 min

Haz una vuelta completa

Lectura base, un recurso central y una practica corta suelen bastar para que el tema ya empiece a quedarse.

Leer con calmaIrIr a practicaIrCerrar con errores claveIr
Cierre~10 min

Comprueba si ya te sirve

Util antes de clase, despues de entrenar o cuando quieras confirmar que no te llevas una confusion escondida.

Mirar errores frecuentesIrElegir siguiente pasoIr

Ruta sugerida

Como conviene estudiar este tema

No hace falta abrir todo. Empieza por la lectura base, usa un recurso principal para mover la idea y deja lo complementario para cuando de verdad te aporte.

Paso 1Base

Empieza por la lectura base

Aqui construyes el mapa del tema: como reconocer la estructura, que tecnica conviene y donde suelen aparecer los errores.

Paso 2Practica

Practica una tecnica cada vez

En esta parte ya no conviene seguir leyendo sin actuar: intenta ejercicios con pistas y comprueba si el metodo realmente te sale.

Antes de abrir este tema

Si alguno de estos temas te falta, te conviene repasarlo primero para que la lectura fluya mejor.

ALGPolinomios y teorema del factorALGFactorizacion

Lectura principal

Teoria y desarrollo

Recorrido sugerido

Si te pierdes, usa este mapa

No hace falta leer todo de un tiron. Puedes avanzar por bloques: entender la idea, fijar algunas reglas, comprobar si las distingues bien y luego practicar.

1Lectura

Idea central

2Lectura

El caso mas amable: raices enteras

3Lectura

Criterio de raiz racional

4Practica

Como se usa en la practica

5Lectura

Estrategia razonable de busqueda

6Lectura

Cuando el criterio descarta, tambien ayuda

7Lectura

Conexion con el teorema del factor

8Lectura

Un ejemplo con mirada estructural

9Lectura

Donde aparece en olimpiadas

10Practica

Una regla practica muy util

11Practica

Ejercicios

Idea central

Cuando un polinomio tiene coeficientes enteros, no necesitas probar valores al azar. Hay una estructura aritmetica detras de las posibles raices racionales.

La pregunta no es "que numero se me ocurre". La pregunta correcta es:

que candidatos vale la pena probar.

El caso mas amable: raices enteras

Si

P(x)=x3−6x2+11x−6,P(x)=x^3-6x^2+11x-6,

y rr es una raiz entera, entonces rr debe dividir al termino independiente −6-6.

Por tanto, solo tiene sentido probar:

±1,±2,±3,±6.\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6.

Ejemplo 1

Probemos:

P(1)=1−6+11−6=0.P(1)=1-6+11-6=0.

Entonces (x−1)(x-1) es factor.

Dividiendo o factorizando:

x3−6x2+11x−6=(x−1)(x2−5x+6).x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6).

Y luego:

x2−5x+6=(x−2)(x−3).x^2-5x+6=(x-2)(x-3).

Asi:

P(x)=(x−1)(x−2)(x−3).P(x)=(x-1)(x-2)(x-3).

Criterio de raiz racional

Si

P(x)=anxn+⋯+a0P(x)=a_nx^n+\cdots+a_0

tiene coeficientes enteros y pq\frac{p}{q} es una raiz racional en forma irreducible, entonces:

  • pp divide a a0a_0;
  • qq divide a ana_n.

Eso reduce muchisimo la lista de candidatos.

Como se usa en la practica

Ejemplo 2

Estudia candidatos para una raiz racional de

2x3−3x2−8x+12.2x^3-3x^2-8x+12.

El termino independiente es 1212 y el coeficiente principal es 22.

Entonces los candidatos racionales irreducibles son de la forma:

±1,±2,±3,±4,±6,±12,±12,±32.\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 12,\pm \frac12,\pm \frac32.

No es una lista pequena, pero ya no es infinita ni caprichosa.

Ejemplo 3

Continuemos con el mismo polinomio:

P(x)=2x3−3x2−8x+12.P(x)=2x^3-3x^2-8x+12.

Antes de probar muchos candidatos, miramos valores pequenos:

P(2)=2(8)−3(4)−16+12=16−12−16+12=0.P(2)=2(8)-3(4)-16+12=16-12-16+12=0.

Entonces (x−2)(x-2) es factor.

Dividiendo:

2x3−3x2−8x+12=(x−2)(2x2+x−6).2x^3-3x^2-8x+12 = (x-2)(2x^2+x-6).

Ahora factorizamos la cuadratica:

2x2+x−6=(2x−3)(x+2).2x^2+x-6 = (2x-3)(x+2).

Por tanto:

2x3−3x2−8x+12=(x−2)(2x−3)(x+2).2x^3-3x^2-8x+12 = (x-2)(2x-3)(x+2).

Encontrar una sola raiz buena suele ser suficiente para bajar mucho la dificultad del problema.

Estrategia razonable de busqueda

Antes de probar uno por uno, conviene:

  1. mirar si la suma de coeficientes da 00; eso sugiere x=1x=1;
  2. alternar signos para ver si x=−1x=-1 puede servir;
  3. probar divisores pequenos del termino independiente;
  4. una vez encontrada una raiz, bajar el grado enseguida.
Tip:

En muchos polinomios olimpicos, encontrar una sola raiz buena es suficiente. Despues, el resto del problema se vuelve mucho mas corto.

Cuando el criterio descarta, tambien ayuda

Ejemplo 4

Estudia si

x3−3x+1x^3-3x+1

puede tener raiz racional.

Como el coeficiente principal es 11, cualquier raiz racional deberia ser entera y dividir a 11. Los unicos candidatos son:

1y−1.1 \quad \text{y} \quad -1.

Pero

P(1)=1−3+1=−1P(1)=1-3+1=-1

y

P(−1)=−1+3+1=3.P(-1)=-1+3+1=3.

Ninguno funciona. Por tanto, el polinomio no tiene raices racionales.

Saber que no hay raiz racional tambien es informacion valiosa: te ahorra busquedas ciegas y te obliga a mirar otra estructura.

Conexion con el teorema del factor

Todo esto funciona junto con la idea:

P(r)=0  ⟺  (x−r) es factor de P(x).P(r)=0 \iff (x-r) \text{ es factor de } P(x).

El criterio de raiz racional no reemplaza al teorema del factor: lo complementa. Uno te dice que probar; el otro te dice que concluyes cuando aciertas.

Un ejemplo con mirada estructural

Ejemplo 5

Factoriza

x3+x2−4x−4.x^3+x^2-4x-4.

Primero agrupamos:

x3+x2−4x−4=x2(x+1)−4(x+1).x^3+x^2-4x-4 = x^2(x+1)-4(x+1).

Entonces:

x3+x2−4x−4=(x+1)(x2−4).x^3+x^2-4x-4 = (x+1)(x^2-4).

Y despues:

(x+1)(x2−4)=(x+1)(x−2)(x+2).(x+1)(x^2-4)=(x+1)(x-2)(x+2).

Aqui no hizo falta criterio de raiz racional porque la estructura aparecio antes. Esa es una leccion importante: no conviertas un criterio en martillo universal.

Donde aparece en olimpiadas

Esta tecnica suele entrar cuando el problema pide:

  • demostrar que existe una raiz entera o racional;
  • factorizar un polinomio de grado 33 o mayor;
  • estudiar divisibilidad entre polinomios;
  • o reducir un problema algebraico a una ecuacion mas pequena.

Una regla practica muy util

Si el polinomio tiene coeficientes enteros, piensa en este orden:

  1. hay una factorizacion visible por agrupacion o identidad;
  2. si no, cuales son los candidatos racionales posibles;
  3. despues de encontrar una raiz, como bajar el grado rapido;
  4. con el grado mas bajo, que herramienta sigue: factorizacion, Vieta o discriminante.

Ese orden suele ahorrar mucho tiempo.

Ejercicios

Ejercicio

Nivel 2/5

Encuentra una raiz entera de

x3−4x2+x+6.x^3-4x^2+x+6.

Ejercicio

Nivel 3/5

Da la lista de candidatos racionales irreducibles para

3x3−5x2−12x+8.3x^3-5x^2-12x+8.

Ejercicio

Nivel 3/5

Factoriza

x3−7x2+14x−8.x^3-7x^2+14x-8.

Ejercicio

Nivel 4/5

Explica por que cualquier raiz entera de

x4+2x3−5x2−6x+8x^4+2x^3-5x^2-6x+8

debe pertenecer a una lista muy corta, y construye esa lista.

Ejercicio

Nivel 4/5

Decide si

x3−3x+1x^3-3x+1

puede tener raices racionales.

Ejercicio

Nivel 4/5

Factoriza completamente, si es posible sobre los racionales:

2x3+x2−8x−4.2x^3+x^2-8x-4.

Errores que conviene vigilar

  • Probar muchos valores sin usar ningun criterio previo.
  • Olvidar que el signo del factor lineal es $(x-r)$ cuando $r$ es raiz.
  • No reducir una raiz racional a fraccion irreducible antes de aplicar el criterio.

Si quieres seguir leyendo

Estos temas encajan bien como siguiente paso natural despues de este tema.

ALGRelaciones entre raices y coeficientesALGSumas simetricas y polinomio asociadoALGSimetria y sustitucion