Sistemas de ecuaciones y eliminacion

Idea central

En un sistema, el valor no esta solo en "encontrar $x$ y $y$". A veces lo importante es descubrir que combinacion conviene mirar:

• la suma de las ecuaciones;
• la diferencia;
• una sustitucion corta;
• o cantidades como $x+y$ y $xy$.

Muchos problemas olimpicos parecen complicados hasta que dejas de mirar las variables una a una y empiezas a mirar estructura.

No todos los sistemas se comportan igual

Incluso antes de resolver, conviene recordar que un sistema puede tener:

• una solucion unica;
• ninguna solucion;
• o infinitas soluciones.

En problemas de olimpiada esto importa porque a veces el objetivo no es solo hallar valores, sino justificar que cierto caso es imposible o que una condicion fuerza coincidencia.

El reflejo mas basico: eliminar

Sustituir cuando una variable ya esta casi aislada

Cuando la suma y el producto son la verdadera pista

Hay sistemas que no piden una solucion lineal, sino una mirada simetrica.

Este tipo de sistema aparece mucho mas de lo que parece. Cuando conoces suma y producto, casi siempre conviene pensar en una cuadratica auxiliar.

Un ejemplo un poco mas olimpico

Cuando una ecuacion lineal y una condicion no lineal conviven

Como mirar un sistema antes de calcular

Hazte estas preguntas:

1. Hay una variable casi aislada.
2. Sumando o restando aparece una cancelacion limpia.
3. El sistema es simetrico y conviene pensar en $x+y$ y $xy$.
4. Aparece un cuadrado, una factorizacion o una restriccion de signo.

Una mini lista de control

Antes de dar una solucion por buena, revisa:

1. satisface todas las ecuaciones y no solo una;
2. no aparecio al elevar al cuadrado o dividir por una expresion dudosa;
3. el problema pide pares ordenados, conjunto de valores o solo una cantidad auxiliar como $xy$.

Trampa comun

Donde reaparecen estas ideas

Sistemas de ecuaciones aparecen mucho cuando un problema:

• describe dos cantidades de forma indirecta;
• da suma y producto pero no los valores;
• mezcla una condicion lineal con otra cuadratica;
• o esconde una sustitucion simetrica.

Aprender a leer un sistema no sirve solo para "resolver sistemas". Sirve para reconocer cuando dos ecuaciones juntas contienen una variable mejor que $x$ o $y$, como $x+y$, $xy$ o $x-y$.

Ejercicios